Otwórz menu główne

Brzeg (matematyka)

pojęcie matematyczne
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.
Zbiór (jasnoniebieski) wraz z jego brzegiem (ciemnoniebieski).

Brzeg – intuicyjnie, zbiór punktów „granicznych” danego zbioru.

Zachowanie funkcji na brzegu dziedziny może się znacząco różnić od zachowania w jego wnętrzu (tzn. w dziedzinie z wyłączeniem brzegu); z tego też powodu w analizie matematycznej pochodne funkcji rozpatruje się zwykle wyłącznie na (niepustych) zbiorach bez brzegu, tzw. zbiorach otwartych. Zadanie z postawionymi warunkami ograniczającymi rozwiązania równania różniczkowego na brzegu badanego zbioru nazywa się zagadnieniem brzegowym. Jednym ze znanych wyników rachunku różniczkowego i całkowego wiążącym pole powierzchni brzegu z obejmowaną przez niego objętością jest twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa (a w ogólności – twierdzenie Stokesa). Ważnym twierdzeniem topologicznym dotyczącym pojęcia brzegu jest twierdzenie Baire’a.

Opisane w artykule pojęcie brzegu różni się pojęć brzegów dla rozmaitości topologicznych, czy kompleksów symplicjalnych.

DefinicjaEdytuj

 
Punkt B jest punktem brzegowym jasnozielonego zbioru, gdyż dowolne jego otoczenie (w szczególności błękitna kula o środku w tym punkcie) zawiera punkty należące do zbioru, jak i spoza niego.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna   oraz zawarty w niej zbiór  

Brzegiem   zbioru   nazywa się zbiór

 

lub równoważnie

 

gdzie   oraz   oznaczają odpowiednio domknięcie i wnętrze zbioru   zaś   jego dopełnienie.

Obok oznaczenia   stosuje się też   (od ang. boundary, frontier).

Punkty brzegu nazywa się punktami brzegowymi i z definicji wynika, że punkty brzegowe są to te punkty, których dowolne otoczenie zawiera punkty należące zarówno do   jak i jego dopełnienia  

WłasnościEdytuj

Wprost z definicji wynika, że brzeg zbioru jest:

  • równy brzegowi jego dopełnienia,
     
  • zawarty w domknięciu tego zbioru,
     
  • zbiorem domkniętym,
     

Domknięcie jest sumą zbioru i jego brzegu,

 

więcej: zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg oraz otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem. Brzeg zbioru jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty; mówi się wtedy, że zbiór „nie ma brzegu”. Zbiór o pustym wnętrzu nazywa się zbiorem brzegowym.

Dla dowolnego zbioru   zachodzi

 

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy   jest brzegowy (co ma miejsce np. wtedy, gdy   jest otwarty lub domknięty). Ponieważ brzeg jest zbiorem domkniętym, to

 

dla dowolnego zbioru   czyli operator brzegu   spełnia pewną słabszą postać idempotentności.

PrzykładyEdytuj

 
Brzeg składowych zbioru Mandelbrota o okresach od 1 do 6.

Niech   oznacza zbiór liczb rzeczywistych z jego naturalną topologią. Wówczas

  •  
  •  
  •  
  •  

Ostatnie dwa przykłady pokazują, że brzeg zbioru może być nadzbiorem danego zbioru.

Pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni: w naturalnej topologii przestrzeni euklidesowej   brzegiem koła

 

jest okrąg

 

jednak zanurzenie koła   w   jest zbiorem brzegowym, natomiast w topologii   zrelatywizowanej do   zbiór ten nie ma brzegu.

W przestrzeni euklidesowej każdy zbiór domknięty jest brzegiem pewnego zbioru.

Zobacz teżEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj