Otwórz menu główne

Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa

Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego

Stosowane jest w elektrodynamice teoretycznej, przede wszystkim w teorii pola, elektronice, telekomunikacji i energetyce.

TezaEdytuj

Niech   będzie obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą   a   i   będą funkcjami mającymi ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze   Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:

 

Przy czym całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni  

DowódEdytuj

Niech   oznacza rzut na płaszczyznę   oraz dla   niech

 

Podzielmy powierzchnię   na trzy takie części   że:

 
 
 

przy czym   oznacza brzeg obszaru  

Dla   trzecia składowa wektora normalnego wynosi zero, zaś dla   wektor normalny ma postać

 

Jednak wiemy, że całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni   Tak więc wektor normalny powierzchni „dolnej” musi być zwrócony w dół, więc trzecia składowa wektora normalnego wynosi   Analogicznie dla powierzchni   wektor normalny wynosi

 

Weźmy składową   pola wektorowego. Tak więc dla lewej strony dowodzonej równości mamy:

 
 
 

Przekształcając prawą stronę dowodzonej równości:

 

Dalej, stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:

 

Dowody dla składowych   i   są analogiczne.

A więc lewa i prawa strona tezy są równe.

UwagiEdytuj

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego często zapisujemy w postaci wektorowej.

Niech   będzie dowolnym polem wektorowym, dla którego istnieje dywergencja na całym zamkniętym obszarze o objętości   otoczonej powierzchnią   Wtedy Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ma postać

 

gdzie   jest wektorem powierzchni dla infinitezymalnego elementu powierzchni   na powierzchni   a   jest infinitezymalnym elementem objętości w obszarze  

Zaletą wzoru zapisanego w ten sposób jest jego zwięzłość.

Zobacz teżEdytuj