Otwórz menu główne
Ten artykuł dotyczy operatora różniczkowego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Dywergencja (rozbieżność, źródłowość) pola wektorowegooperator różniczkowy przyporządkowujący polu wektorowemu w przestrzeni euklidesowej 3-wymiarowej pole skalarne będące formalnie iloczynem skalarnym operatora nabla z wektorem pola.

Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe -wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.

Dywergencja w układzie współrzędnych kartezjańskichEdytuj

Założenia:

Dana jest funkcja   określona na zbiorze otwartym  klasy   (tj. taka że jej pochodne cząstkowe ze względu na każdą ze zmiennych  funkcjami ciągłymi); funkcja ta ma w wybranym układzie współrzędnych trzy funkcje składowe i nazywana jest polem wektorowym w przestrzeni  

 

Definicja:

Dywergencją   pola wektorowego   nazywa się pole skalarne będące sumą pochodnych cząstkowych funkcji składowych   pola wektorowego   po odpowiednich współrzędnych, tj.

 

co można zapisać symbolicznie

 

gdzie:

 operator wektorowy nabla
symbol   oznacza mnożenie skalarne operatora wektorowego nabla z wektorem pola.

Dywergencja we współrzędnych krzywoliniowychEdytuj

W dowolnych współrzędnych krzywoliniowych   przestrzeni  -wymiarowej euklidesowej lub przestrzeni pseudoeuklidesowej (i ogólniej – w przestrzeni riemannowskiej lub pseudoriemannowskiej) dywergencję w danym punkcie wyraża wzór

 

gdzie:

  – moduł wyznacznika tensora metrycznego współrzędnych krzywoliniowich obliczony w danym punkcie,
  – pochodna cząstkowa po współrzędnej krzywoliniowej  
  – dane pole wektorowe w przestrzeni  -wymiarowej.

W powyższym wzorze trzeba wykonać sumowanie po powtarzającym się indeksie   przyjmując  

Współrzędne sferyczneEdytuj

Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać dywergencji w układzie współrzędnych sferycznych   Jeżeli pole wektorowe wyrazi się w lokalnej bazie współrzędnych sferycznych

 

to dywergencja ma postać:

 

Współrzędne walcoweEdytuj

Z ogólnego wzoru można otrzymać postać dywergencji w układzie współrzędnych walcowych  

Jeżeli pole wektorowe wyrazi się w lokalnej bazie współrzędnych walcowych

 

to dywergencja ma postać:

 

Definicja geometryczna dywergencjiEdytuj

(1) Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego

Dywergencję można zdefiniować najogólniej nie odwołując się do układu współrzędnych, a korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, które mówi, że:

Jeżeli   jest zwartym podzbiorem przestrzeni   którego brzeg   jest dodatnio zorientowany oraz kawałkami gładki, a   jest polem wektorowym klasy   określonym na zbiorze otwartym, zawierającym   to

 

gdzie:

  – jednostkowy wektor normalnym do infinitezymalnej powierzchni   w otoczeniu punktu  

(2) Definicja:

Dywergencją w punkcie   zbioru   nazywa się granicę całki obliczanej po powierzchni otaczającej punkt   uzyskaną poprzez ściąganie powierzchni   do punktu   tj.

 
gdzie  objętość obszaru   zawartego w powierzchni  

Uwaga:

  •   oznacza infinitezymalny element powierzchni; formalnie jest to 2-forma postaci dx∧dy.
  •   oznacza infinitezymalny element objętości; formalnie jest to 3-forma postaci dx∧dy∧dz.

TwierdzeniaEdytuj

Następujące twierdzenia dowodzi się w oparciu o reguły różniczkowania.

Tw. 1

Dywergencja jest operatorem liniowym, tj.

 

dla dowolnych pół wektorowych   i dla dowolnych liczb rzeczywistych  

Tw. 2

Jeżeli φ jest polem skalarnym, to

 

lub równoważnie

 

gdzie  gradient funkcji skalarnej.

ZastosowaniaEdytuj

Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego zwane twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.

Interpretacja w mechanice płynówEdytuj

Rozważany jest problem przepływu cieczy nieściśliwej przy występowaniu źródeł (albo wycieków). Wydajnością źródeł wewnątrz zamkniętej powierzchni   nazywa się ilość cieczy wypływającej z powierzchni   w jednostce czasu. Innymi słowy, wydajność źródeł to strumień wektora prędkości   to znaczy

 

Dla źródeł w danym obszarze rozłożonych w sposób ciągły, można wprowadzić pojęcie ich gęstości, to znaczy granicę wydajności źródeł w obszarze   które zawierają punkt   na jednostkę objętości, tzn.

 

co oznacza, że dywergencja pola prędkości cieczy jest w powyższym przykładzie gęstością źródeł.

Zobacz teżEdytuj

(1) Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

(2) Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej

BibliografiaEdytuj