Macierz transponowana

Macierz transponowana (przestawiona) macierzy – macierz która powstaje z danej macierzy (w ogólności prostokątnej, w szczególności jednowierszowej czy o jednej kolumnie) poprzez zamianę jej wierszy na kolumny i kolumn na wiersze[1]. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywa się transpozycją (przestawianiem).

Jeżeli macierz ma wyrazy (element macierzy znajdujący się na przecięciu -tego wiersza i -tej kolumny), a macierz transponowana ma wyrazy to zachodzi związek

PrzykładEdytuj

(1) Transponować można macierz w ogólności prostokątną, np. gdy

 

to macierz transponowana ma postać:

 

(2) W szczególności wektor kolumnowy przechodzi w wektor wierszowy, np. gdy

 

to

 

Transpozycja macierzy symetrycznejEdytuj

Macierz symetryczna[2] – macierz ta ma identyczne wyrazy leżące symetrycznie względem swojej przekątnej głównej, np.

 

Transpozycja macierzy symetrycznej jest równa tej macierzy, tj.

 

Własności operacji transponowaniaEdytuj

Tw. 1. Niech   wówczas:

  •  [3],
  •  
  •  

Tw. 2. Jeśli   to:

  •  

Tw. 3. Dla macierzy kwadratowej: Transpozycja nie zmienia wyznacznika ani śladu macierzy, tj.

  •  
  •  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. g, Transpose, chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17] (ang.).
  2. g, Symmetric, chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17] (ang.).
  3. g, A Rule for Transpose, chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17] (ang.).

BibliografiaEdytuj

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.