Macierz unitarna

Macierz unitarnamacierz kwadratowa o elementach zespolonych spełniająca własność:

gdzie:

jest macierzą jednostkową wymiaru
jest sprzężeniem hermitowskim macierzy

Zauważmy, że własność ta oznacza, iż macierz posiada macierz odwrotną równą sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli:

Szczególnym przypadkiem macierzy unitarnej jest macierz ortogonalna, mająca wyłącznie rzeczywiste elementy. Macierze unitarne mają wyjątkowe znaczenie w mechanice kwantowej.

Macierze unitarne są szczególnym przypadkiem macierzy normalnych.

Macierz unitarna wymiaru można sparametryzować za pomocą parametrów rzeczywistych (por. Parametryzacje macierzy unitarnych poniżej).

Własności macierzy unitarnejEdytuj

Dla macierzy   słuszne są następujące stwierdzenia:

  • Dla dowolnych wektorów zespolonych   and   mnożenie przez   zachowuje ich iloczyn wewnętrzny, tzn.
     
  •   można zdiagonalizować, co oznacza, że   jest macierzą podobną do macierzy diagonalnej (jest to konsekwencją twierdzenia spektralnego); dlatego   można rozłożyć do postaci
     
gdzie   jest unitarna, zaś   jest diagonalna i unitarna.
  • Wyznacznik macierzy unitarnej jest liczbą zespoloną o module równym 1:
     
  • Wektory własne macierzy   są ortogonalne.
  •   może być zapisana w postaci   gdzie   oznacza eksponentę macierzy,   jest jednostką urojoną, zaś   jest macierzą hermitowską.

Równoważne warunkiEdytuj

Jeżeli   jest zespoloną macierzą kwadratową to następujące warunki są równoważne:

  1.   jest unitarna.
  2.   jest unitarna.
  3. macierz odwrotna do   jest równa macierzy hermitowsko sprzężonej do   tj.  
  4. Kolumny   tworzą bazę ortonormalną w   ze względu na iloczyn wewnętrzny.
  5. Wiersze   tworzą bazę ortonormalną w   ze względu na iloczyn wewnętrzny.
  6.   jest izometrią ze względu na zwykła normę.
  7.   jest macierzą normalną z wartościami własnymi leżącymi na okręgu jednostkowym.

Grupa unitarnaEdytuj

Dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej   zbiór wszystkich   macierzy unitarnych z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym i macierzą jednostkową   jako elementem neutralnym mnożenia tworzy grupę, nazywaną grupą unitarną   Jest tak, gdyż zachodzą następujące własności:

  • Iloczyn dwóch macierzy unitarnych   jest macierzą unitarną.
  • Macierz odwrotna do macierzy unitarnej   jest unitarna.
  • Macierz jednostkowa   jest unitarna.

Parametryzacje macierzy unitarnychEdytuj

Macierze unitarne 1×1Edytuj

Ogólna postać macierzy unitarnej 1×1:

 

która zależy od 1 rzeczywistego parametru   Wyznacznik takiej macierzy wynosi:

 

Przypadek gdy   jest trywialny: wyznaczniki macierzy jest równy 1, istnieje tylko jedna taka macierz o postaci   która tworzy 1-elementową grupę nazywana grupą SU(1).

Macierze unitarne 2×2Edytuj

Ogólna postać macierzy unitarnej 2×2:

 

która zależy od 4 rzeczywistych parametrów (  oraz trzy parametry niezależne występujące w zapisie liczb zespolonych  ). Wyznacznik takiej macierzy wynosi:

 

Gdy   to wyznaczniki macierzy jest równy 1. Grupa tworzona przez takie macierze unitarne jest nazywana grupą SU(2).

Macierz   może być napisana w alternatywnej formie:

 

po podstawieniu   and   otrzymamy faktoryzację:

 

Wyrażenie to podkreśla związek między macierzami unitarnymi 2×2 a macierzami obrotu 2×2 o kącie obrotu  

Jest wiele możliwych sposobów faktoryzowania danej macierzy.

Macierze unitarne 3×3Edytuj

Ogólna postać macierzy unitarnej 3×3:

 

która zależy od 9 rzeczywistych parametrów: pięciu parametrów   oraz 4 parametrów, za pomocą których wyraża się macierz   która jest macierzą Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (jest to macierz unitarna 3×3).

PrzykładyEdytuj

(1) Macierz

 

jest unitarna, ponieważ

 

(2) Macierz

 

jest unitarna, ponieważ

 

(3) Macierz

 

jest unitarna, ponieważ

 

(4) Każda macierz ortogonalna jest unitarna, ponieważ jest szczególnym przypadkiem macierzy unitarnych, np. macierz obrotu:

 

Macierze unitarne w fizyceEdytuj

Macierze unitarne są powszechnie stosowane w mechanice kwantowej.

Macierz ewolucji czasowejEdytuj

Dla przykładu operator ewolucji czasowej wektora stanu układu kwantowego można przedstawić w postaci macierzy unitarnej; wektor stanu w chwili   otrzymuje się z pomnożenia wektora stanu w chwili   przez macierz ewolucji czasowej   czyli[1]

 

Wektor sprzężony do powyższego wektora ma postać:

 

Ponieważ

 

długość wektora stanu w chwili   wynosi

 

Macierz unitarna ewolucji czasowej zachowuje więc długość wektora stanu. Dzięki temu możliwe jest nadanie interpretacji probabilistycznej formalizmowi mechaniki kwantowej.

Wartość oczekiwana pomiaruEdytuj

Wartość oczekiwaną pomiaru   w chwili   z pomiaru wykonanego na zespole identycznie przygotowanych układów kwantowych, gdzie pomiarowi wielkości fizycznej   odpowiada operator pomiaru   (reprezentowany przez macierz hermitowską), oblicza się ze wzoru[2]:

 

co oznacza, że należy obliczyć wynik działania operatora pomiaru na stan   układu w chwili   i pomnożyć wynik przez wektor sprzężony. Korzystając z zależności czasowej wektora stanu (wzory 1 i 2 powyżej), otrzymamy:

 

Jeżeli oznaczymy

 

to powyższy wzór przyjmie postać:

 

Wartość oczekiwana z pomiaru w chwili   ma postać:

 

Widać z powyższego, że wartość oczekiwaną z pomiaru można obliczać działając na wektor stanu operatorem pomiaru, którego postać ewoluuje w czasie zgodnie ze wzorem  

Jest to tzw. obraz Heisenberga, w którym wektor stanu nie zmienia się z upływem czasu, ale zmieniają się operatory.

Inne przykłady macierzy unitarnych w fizyce

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

Literatura dodatkowaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj