Otwórz menu główne

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.

Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.

DefinicjeEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem   zaś   oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora   przestrzeni spełniony jest warunek

 

gdzie   jest pewnym skalarem, to   nazywa się wektorem własnym, a   nazywa się wartością własną przekształcenia  

Danej wartości własnej   operatora   odpowiada zbiór

 

który jest podprzestrzenią liniową przestrzeni   Jest ona nazywana podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej   gdyż jest ona zamknięta ze względu na działanie operatora   Jej wymiar nazywa się wielokrotnością lub krotnością geometryczną wartości własnej  

Często zakłada się, że   jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, zaś na   określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że   jest pewną przestrzenią Banacha, a   jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.

WłasnościEdytuj

  • Jeżeli   jest samosprzężonym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta   to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
  • Jeżeli   jest wartością własną operatora   to   (założenie zupełności przestrzeni jest tu nieistotne).
  • Liczba   jest wartością własną operatora   wtedy i tylko wtedy, gdy operator   nie jest różnowartościowy.
  • Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
  • Jeśli macierz   potraktować jako macierz przekształcenia liniowego pewnej przestrzeni liniowej   to wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej tworzą podprzestrzeń.
  • Jeśli suma wymiarów podprzestrzeni z powyższej własności jest równa wymiarowi   to wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tworzą bazę tej przestrzeni.

PrzykładyEdytuj

Przestrzenie skończenie wymiaroweEdytuj

Osobny artykuł: widmo macierzy.

Przekształcenie liniowe   skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych z ustalonymi bazami można przedstawić za pomocą macierzy   nazywanej macierzą przekształcenia liniowego.

Endomorfizmowi   na skończeniewymiarowej przestrzeni   odpowiada macierz kwadratowa   a jego wartości własne  pierwiastkami wielomianu charakterystycznego tej macierzy.

 

gdzie   jest macierzą jednostkową.

Mając wartości własne   można obliczyć odpowiadające im wektory własne   rozwiązując równania postaci

 

ze względu na wektory  

Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora; w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, to mówi się o widmie macierzy. Jeżeli macierz   jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi. Transponowanie macierzy nie zmienia jej wartości własnych.

Równanie całkowe jednorodne FredholmaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lebesgue’a na przedziale   oraz niech   będzie funkcją całkowalną z kwadratem w zbiorze

 

Można wykazać, że odwzorowanie   dane wzorem

 

jest operatorem liniowym i ciągłym, przy czym, gdy   to   jest operatorem samosprzężonym, a zatem ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.