Otwórz menu główne

MotywacjaEdytuj

Zbiór wartości własnych macierzy możemy zakodować, tworząc wielomian, którego pierwiastki są tymi wartościami. Dla macierzy diagonalnej jest to łatwe do wyliczenia: jeśli na głównej przekątnej leżą wartości   to wielomian charakterystyczny ma postać:

 

(z dokładnością do znaku). Wynika to z faktu, że wartości na przekątnej są tu wartościami własnymi tej macierzy.

Dla dowolnej macierzy   sytuacja wygląda następująco: jeśli   jest wartością własną   to istnieje wektor własny   taki że

 

czyli

 

(gdzie   jest macierzą jednostkową). Ponieważ   jest niezerowy, oznacza to, że macierz   jest macierzą osobliwą (jej wyznacznik jest równy 0). Tym samym pierwiastki wielomianu   są wartościami własnymi  

DefinicjaEdytuj

Niech   gdzie   jest pewnym ciałem (np. ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych).

Wielomian charakterystyczny   macierzy kwadratowej   definiuje się jako:

 

PrzykładEdytuj

Dla obliczenia wielomianu charakterystycznego macierzy  

 

należy obliczyć wyznacznik macierzy

 

Ma on postać

 

WłasnościEdytuj

Stopień wielomianu charakterystycznego macierzy   jest równy   Wyraz wolny tego wielomianu   jest równy   współczynnik przy   jest równy   (gdzie tr oznacza ślad macierzy).

Dla macierzy   zachodzi zatem:

 

Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, co oznacza że każda macierz stopnia nieparzystego ma co najmniej jedną rzeczywistą wartość własną.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawiając jako argument wielomianu charakterystycznego   samą macierz   otrzyma się macierz zerową:   A zatem każda macierz spełnia swoje równanie charakterystyczne. W konsekwencji, wielomian minimalny macierzy   musi dzielić jej wielomian charakterystyczny.

Macierze podobne mają te same wielomiany charakterystyczne. Zależność ta nie działa jednak w drugą stronę – macierze o identycznych wielomianach charakterystycznych nie muszą być podobne.

Macierz   jest podobna do macierzy trójkątnej wtedy i tylko wtedy, gdy jej wielomian charakterystyczny da się rozłożyć na czynniki liniowe nad  

Zobacz teżEdytuj