Wielomian minimalny macierzy kwadratowej
A
{\displaystyle A}
wielomian anulujący
ψ
(
λ
)
{\displaystyle \psi (\lambda )}
ψ
(
A
)
=
0
{\displaystyle \psi (A)=0}
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
.
{\displaystyle \lambda .}
Równoważnie, dla przekształcenia liniowego
f
{\displaystyle f}
ψ
(
λ
)
,
{\displaystyle \psi (\lambda ),}
ψ
(
f
)
{\displaystyle \psi (f)}
f
n
{\displaystyle f^{n}}
f
{\displaystyle f}
n
{\displaystyle n}
wektor zerowy , a wielomian
ψ
{\displaystyle \psi }
λ
.
{\displaystyle \lambda .}
Należy wiedzieć, że istnieje tylko jeden wielomian minimalny macierzy kwadratowej
A
.
{\displaystyle A.}
Wielomian minimalny
ψ
(
λ
)
{\displaystyle \psi (\lambda )}
A
{\displaystyle A}
wielomianem charakterystycznym
φ
(
λ
)
{\displaystyle \varphi (\lambda )}
ψ
(
λ
)
=
φ
(
λ
)
D
n
−
1
(
λ
)
,
{\displaystyle \psi (\lambda )={\frac {\varphi (\lambda )}{D_{n-1}(\lambda )}},}
przy czym
D
n
−
1
(
λ
)
{\displaystyle D_{n-1}(\lambda )}
największym wspólnym dzielnikiem wszystkich elementów macierzy dołączonej
[
λ
E
−
A
]
D
,
{\displaystyle [\lambda E-A]^{D},}
E
{\displaystyle E}
macierzą jednostkową o tym samym wymiarze co macierz
A
.
{\displaystyle A.}
Powyższa zależność jest przydatna przy wyznaczaniu wielomianu minimalnego.
Wyznaczmy wielomian minimalny macierzy:
A
=
(
1
0
0
0
1
1
0
0
1
)
.
{\displaystyle A=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{matrix}}\right).}
Wyznaczamy najpierw wielomian charakterystyczny macierzy
A
:
{\displaystyle A{:}}
φ
(
λ
)
=
|
λ
−
1
0
0
0
λ
−
1
−
1
0
0
λ
−
1
|
=
(
λ
−
1
)
3
.
{\displaystyle \varphi (\lambda )=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0&0\\0&\lambda -1&-1\\0&0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{3}.}
Następnie obliczamy macierz dołączoną
[
λ
E
−
A
]
D
{\displaystyle [\lambda E-A]^{D}}
A
,
{\displaystyle A,}
A
:
{\displaystyle A{:}}
D
11
=
|
λ
−
1
−
1
0
λ
−
1
|
=
(
λ
−
1
)
2
,
D
12
=
−
|
0
−
1
0
λ
−
1
|
=
0
,
D
13
=
|
0
λ
−
1
0
0
|
=
0
,
{\displaystyle D_{11}=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&-1\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{2},\quad D_{12}=-\left|{\begin{matrix}0&-1\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=0,\quad D_{13}=\left|{\begin{matrix}0&\lambda -1\\0&0\end{matrix}}\right|=0,}
D
21
=
−
|
0
0
0
λ
−
1
|
=
0
,
D
22
=
|
λ
−
1
0
0
λ
−
1
|
=
(
λ
−
1
)
2
,
D
23
=
−
|
λ
−
1
0
0
0
|
=
0
,
{\displaystyle D_{21}=-\left|{\begin{matrix}0&0\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=0,\quad D_{22}=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{2},\quad D_{23}=-\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&0\end{matrix}}\right|=0,}
D
31
=
|
0
0
λ
−
1
−
1
|
=
0
,
D
32
=
−
|
λ
−
1
0
0
−
1
|
=
λ
−
1
,
D
33
=
|
λ
−
1
0
0
λ
−
1
|
=
(
λ
−
1
)
2
.
{\displaystyle D_{31}=\left|{\begin{matrix}0&0\\\lambda -1&-1\end{matrix}}\right|=0,\quad D_{32}=-\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&-1\end{matrix}}\right|=\lambda -1,\quad D_{33}=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{2}.}
Aby więc otrzymać macierz dołączoną, należy zastąpić elementy danej macierzy przez ich dopełnienia algebraiczne i dokonać transpozycji . Ostatecznie macierz dołączona
[
λ
E
−
A
]
D
{\displaystyle [\lambda E-A]^{D}}
A
{\displaystyle A}
[
λ
E
−
A
]
D
=
(
(
λ
−
1
)
2
0
0
0
(
λ
−
1
)
2
0
0
λ
−
1
(
λ
−
1
)
2
)
.
{\displaystyle [\lambda E-A]^{D}=\left({\begin{matrix}(\lambda -1)^{2}&0&0\\0&(\lambda -1)^{2}&0\\0&\lambda -1&(\lambda -1)^{2}\end{matrix}}\right).}
Wszystkie elementy macierzy dołączonej są podzielne przez
λ
−
1
{\displaystyle \lambda -1}
ψ
(
λ
)
=
φ
(
λ
)
D
n
−
1
(
λ
)
{\displaystyle \psi (\lambda )={\frac {\varphi (\lambda )}{D_{n-1}(\lambda )}}}
otrzymujemy, że szukany wielomian minimalny zadanej macierzy
A
{\displaystyle A}
ψ
(
λ
)
=
(
λ
−
1
)
2
.
{\displaystyle \psi (\lambda )=(\lambda -1)^{2}.}
![{\displaystyle [\lambda E-A]^{D},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db193a1228a94f45b54f391030d1630d45175310)
![{\displaystyle [\lambda E-A]^{D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721cb997a37643a6dcbe31cff9e9f62623ab67ec)
![{\displaystyle [\lambda E-A]^{D}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80965d7053e1ff24f03d506e8d380ef8918d1a0)
![{\displaystyle [\lambda E-A]^{D}=\left({\begin{matrix}(\lambda -1)^{2}&0&0\\0&(\lambda -1)^{2}&0\\0&\lambda -1&(\lambda -1)^{2}\end{matrix}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9056a6af37b5d2a608d4a49a378c307c7ff2a26d)
