Otwórz menu główne

DefinicjaEdytuj

Macierz kwadratową   stopnia   nazywa się diagonalną, jeżeli

 

Często oznacza się ją symbolem   gdzie   są kolejnymi współczynnikami leżącymi na głównej przekątnej.

PrzykładyEdytuj

Przykładem macierzy diagonalnej jest macierz

 

Macierzami diagonalnymi są również:

WłasnościEdytuj

Macierze diagonalne stopnia   tworzą podpierścień pierścienia wszystkich macierzy kwadratowych stopnia   Oznacza to m.in., że suma i iloczyn (Cauchy’ego) macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną.

Stąd dla macierzy

 

oraz

 

zachodzą działania

 
 

Zatem potęgowanie macierzy diagonalnej o wykładniku naturalnym   sprowadza się do potęgowania elementów tej macierzy:

 

Wyznacznik (o ile jest zdefiniowany) macierzy diagonalnej jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej, jeżeli jest on elementem odwracalnym (dla liczb wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych, lub ogólniej, ciał: niezerowy), to macierz diagonalna jest nieosobliwa. Macierz dołączona do macierzy diagonalnej również jest diagonalna.

Macierz diagonalna jest odwracalna, jeżeli każdy jej element jest odwracalny (jw.). Wówczas wzór na macierz odwrotną macierzy diagonalnej jest analogiczny do wzoru na jej potęgowanie:

 

Każda macierz diagonalna jest symetryczna, jeżeli zaś jej elementy należą do liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to jest ona również normalna. Macierz kwadratowa jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest trójkątna i normalna.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. W niektórych źródłach pojęcie macierzy diagonalnej wprowadza się wśród macierzy prostokątnych. Por. Gleichgewicht 2002 ↓, s. 120.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj