Diagonalizacja

Diagonalizacja – sprowadzenie macierzy kwadratowej do postaci diagonalnej[1], a konkretniej rozkład macierzy na iloczyn macierzy :

gdzie jest macierzą diagonalną.

Macierz jest nazywana macierzą przejścia.

Współczynniki na głównej przekątnej macierzy diagonalnej są równe kolejnym wartościom własnym macierzy z kolei kolumny macierzy stanowią kolejne wektory własne macierzy

Macierze kwadratowe, które można przedstawić w postaci diagonalnej, nazywamy diagonalizowalnymi.

Rozkład Jordana i rozkład wartości osobliwych to dwa różne uogólnienia diagonalizacji, działające dla dowolnych macierzy.

ZastosowanieEdytuj

Diagonalizacja ułatwia potęgowanie macierzy:

 

gdzie:

  •   gdzie   jest macierzą jednostkową stopnia  
  •   są wartościami własnymi macierzy  
  •   jest macierzą diagonalną o współczynnikach będących potęgami kolejnych wartości własnych.

WłasnościEdytuj

Macierze symetryczne i hermitowskie są diagonalizowalne. Ogólniej, macierze normalne są diagonalizowalne unitarnie – tzn. istnieje dla nich unitarna macierz przejścia dla rozkładu diagonalnego.

W szczególności:

Jeśli dla pewnej macierzy   mamy rozkład diagonalny

 

wówczas:

Diagonalizacja JacobiegoEdytuj

Załóżmy, że   jest przestrzenią ortogonalną oraz   jest bazą   taką, że dla każdego   zachodzi   (wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła   przestrzeni   w której   ma macierz:

  gdzie   dla  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Diagonalizacja, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-22].