Macierz ortogonalna

Macierz ortogonalnamacierz kwadratowa o elementach będących liczbami rzeczywistymi spełniająca równość:

gdzie oznacza macierz jednostkową wymiaru oznacza macierz transponowaną względem

Uogólnieniem pojęcia na macierze zespolonemacierze unitarne, tzn. macierz ortogonalna jest macierzą unitarną o wyrazach rzeczywistych[1].

Macierze ortogonalne wymiaru n × n reprezentują np. przekształcenia ortogonalne (np. obroty, odbicia) n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej[2].

Warunki równoważne ortogonalności macierzyEdytuj

Niech   Następujące warunki są równoważne:

  1.   jest macierzą ortogonalną[3]
  2. kolumny macierzy   traktowane jako wektory przestrzeni   tworzą bazę ortonormalną[4]
  3. wiersze macierzy   traktowane jako wektory przestrzeni   tworzą bazę ortonormalną[4]
  4. kolumny macierzy   traktowane jako wektory przestrzeni   tworzą układ ortonormalny[5]
  5. wiersze macierzy   traktowane jako wektory przestrzeni   tworzą układ ortonormalny[6]
  6.   gdzie   oznacza macierz jednostkową wymiaru   a   oznacza macierz transponowaną względem  [7][8]
  7.   gdzie   oznacza macierz jednostkową wymiaru   a   oznacza macierz transponowaną względem  [9]
  8. dla każdej bazy ortonormalnej   przestrzeni   układ   jest bazą ortonormalną przestrzeni  [10]
  9. macierz A jest odwracalna i   gdzie   oznacza macierz odwrotną do macierzy   a   oznacza macierz transponowaną względem  [11]
  10.   gdzie   jest deltą Kroneckera[12]
  11.   gdzie   jest deltą Kroneckera[13]
  12.  [14]
  13.  [15]

Własności macierzy ortogonalnychEdytuj

  • Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy 1 lub –1[16].
  • Jeśli   są macierzami ortogonalnymi tego samego rzędu, to ich iloczyn   też jest macierzą ortogonalną[17].
  • Macierz odwrotna do macierzy   jest jej macierzą transponowaną, tj.   Macierz ta też jest ortogonalna.
  • Macierz jednostkowa jest ortogonalna.

Grupy O(n) oraz SO(n)Edytuj

Grupa ortogonalna stopnia nEdytuj

Z własności zbioru macierzy ortogonalnych stopnia n wynika, że zbiór ten tworzy grupę z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym[18][19], grupę tę nazywa się grupą ortogonalną stopnia n i oznacza się symbolem   lub  [20]. Grupa ta jest podgrupą ogólnej grupy liniowej  [20][21].

Specjalna grupa ortogonalnaEdytuj

Specjalna grupa ortogonalna   (lub grupa unimodularna  ) – to grupa macierzy ortogonalnych stopnia n, których wyznacznik jest równy jeden[20][22]. Grupa ta jest podgrupą grupy ortogonalnej  [20][22].

PrzykładyEdytuj

Poniżej podano przykłady macierzy ortogonalnych. Łatwo można to sprawdzić, wykonując obliczenia iloczynów skalarnych kolumn (traktowanych jako wektory), że są one wzajemnie ortogonalne; to samo dotyczy wierszy.

  • Macierz jednostkowa dowolnego rzędu jest macierzą ortogonalną[23], np.  
  •  
  •  [24][25]
  •  [24][26]
  •  
  •  [27][28][29][30][31]

Zobacz teżEdytuj

Inne:

PrzypisyEdytuj

  1. QR Algorithm for the Computation of the Eigenvalues, Maciej Kluczny, Mateusz Kramarczyk, AGH University of Science and Technology, 2006; Macierz unitarna.
  2. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 198, Definicja 10.9.
  3. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 198, Twierdzenie 10.14 (a).
  4. a b Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Wniosek 9.
  5. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 198, Twierdzenie 10.14 (b).
  6. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 198, Twierdzenie 10.14 (f).
  7. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 198, Twierdzenie 10.14 (c).
  8. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Definicja 7.1.
  9. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 198, Twierdzenie 10.14 (e).
  10. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 16 d).
  11. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 198, Twierdzenie 10.14 (d).
  12. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 216, Definicja 11.14, wzór (11.15).
  13. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 216, Definicja 11.14, wzór (11.16).
  14. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 16 b).
  15. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 16 c).
  16. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 136.
  17. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 13 b).
  18. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 199, Wniosek 10.15.
  19. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 220, Twierdzenie 11.26.
  20. a b c d Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 220.
  21. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 199, Wniosek 10.15 – dowód.
  22. a b Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 199–200, Definicja 10.10.
  23. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 13 c).
  24. a b Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 200.
  25. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 14 (7.12).
  26. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 14 (7.13).
  27. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 201, Twierdzenie 10.16.
  28. N.W. Jefimow, E.R. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN, Warszawa 1976.
  29. Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978, s. 145, Twierdzenie VIII.2.12.
  30. A.I. Kostrykin, J.I. Manin, Algebra liniowa i geometria, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993.
  31. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 221.

Linki zewnętrzneEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
  • J. Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.
  • A.I. Kostrykin, J.I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.
  • A. Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​.
  • T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2012.