Otwórz menu główne

Grupa ortogonalna O(n)Edytuj

Rozważmy przekształcenie ortogonalne w przestrzeni wektorowej  -wymiarowej, tj. przekształcenie, które zachowuje długości wektorów. Niech   oznacza macierz tego przekształcenia. Z własności przekształceń ortogonalnych wynika, że macierz odwrotna macierzy ortogonalnej jest jej macierzą transponowaną, czyli  

W zbiorze macierzy ortogonalnych   są słuszne następujące własności:

  • iloczyn dowolnych macierzy ortogonalnych   i   jest macierzą ortogonalną  
  • istnieje element neutralny, który też jest macierzą ortogonalną, tj.  
  • dla każdej macierzy ortogonalnej istnieje macierz odwrotna, gdyż  

Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy więc grupę.

Grupa obrotów SO(n)Edytuj

Jeżeli spełniony jest dodatkowo warunek, że wyznacznik macierzy jest równy +1, to grupę nazywa się specjalną grupą ortogonalną SO(n) lub grupą obrotów właściwych SO(n). Macierze tej grupy opisują obroty. Grupa ta jest podgrupą grupy O(n), która oprócz obrotów zawiera też odbicia (tzw. obroty niewłaściwe), których macierze ortogonalne mają wyznacznik   Podczas odbić zmienia się skrętność układu współrzędnych. Obroty zaś zachowują skrętność.

Grupa obrotów SO(3)Edytuj

W przestrzeni euklidesowej 3-wymiarowej mamy grupę obrotów właściwych   która jest podgrupą grupy   (zawierającej obroty niewłaściwe, czyli odbicia). Obroty reprezentowane są tu wzajemnie jednoznacznie przez macierze ortogonalne wymiaru   o wyznaczniku równym +1.

Parametry i generatory grupy SO(3)Edytuj

Grupa obrotów   jest grupą ciągłą, tzn. wszystkie elementy   grupy są określone za pomocą funkcji różniczkowalnych i ciągłych zależnych od 3 parametrów  

 

gdzie trzy macierze   – zwane generatorami grupy obrotów – mają postać:

 

Reguły komutacji generatorówEdytuj

Generatory spełniają regułę komutacji:

 
 
 

gdzie   – komutator.

Reguły komutacji można zapisać za pomocą wzoru

 

gdzie   oznacza tzw. symbol antysymetryczny:

  •   gdy liczby   są parzystą permutacją liczb 123,
  •   gdy liczby   są nieparzystą permutacją liczb 123,
  •   gdy dwie lub trzy liczby   są takie same.

27 liczb postaci

 

nazywa się stałymi struktury grupy, ponieważ (prawie) zupełnie determinują strukturą multiplikatywną grupy (tj. wyniki mnożenia generatorów grupy przez siebie). Stałe struktury (lub równoważnie – relacje komutacyjne) definiują też algebrę Liego   grupy  

Zwartość grupy SO(3)Edytuj

Grupa   jest grupą zwartą, tzn. parametry   należą do zbioru zwartego   przy czym

 

gdzie:

     
– współrzędne kartezjańskie wektora jednostkowego, skierowanego wzdłuż osi obrotu,
  – kąt obrotu wokół tej osi
oraz
   

Reprezentacja fundamentalnaEdytuj

(1) Macierze   są generatorami specjalnych macierzy ortogonalnych wymiaru   tworzących tzw. reprezentację fundamentalną (definiującej) grupy Liego   Nazwa pochodzi stąd, że relacje komutacyjne pomiędzy generatorami określają daną grupę.

(2) Wybór generatorów nie jest unikalny – można znaleźć inne macierze   które spełniają te same warunki komutacji.

Inne reprezentacje grupy SO(3)Edytuj

Oprócz reprezentacji fundamentalnej istnieją inne reprezentacje grupy: generatory tych reprezentacji spełniają te same warunki komutacji, jak generatory reprezentacji fundamentalnej, ale są macierzami wymiaru   itd.

Reprezentacja nakrywająca SU(2) grupy SO(3)Edytuj

Istnieje też tzw. reprezentacja nakrywająca grupy   której generatorami są macierze Pauliego mnożone przez   tj.

     

Generatory te spełniają dokładnie takie same warunki komutacyjne, jak generatory   grupy SO(3), tj.

 

Generatory te generują poprzez eksponentę grupę specjalnych macierzy unitarnych   wymiaru   zależną od 3 parametrów rzeczywistych   tj.

 

przy czym każdej macierzy ortogonalnej grupy   odpowiadają jednoznacznie dwie macierze unitarne grupy   – stąd nazwa „reprezentacja nakrywająca”.

Algebra Liego grupy SO(n)Edytuj

Generatory grupy   rozpinają algebrę Liego   z nawiasem Liego zadanym przez komutator

 

Grupy obrotu a operatory mechaniki kwantowejEdytuj

(1) Bardzo podobne reguły komutacyjne jak generatory grupy obrotu   spełnia operator momentu pędu mechaniki kwantowej (z dokładnością do stałej Plancka  )

 

tj.

  itd.

Składowym tego operatora nie da się przypisać macierzy - reprezentują je operatory różniczkowe, tworząc nieskończenie wiele wymiarową reprezentację algebry  ; funkcjami własnymi tych operatorów są funkcje całkowalne z kwadratem  tworzące przestrzeń wektorową.

Pomiary pokazały, że nie da się jednocześnie zmierzyć wszystkich 3 składowych momentu pędu (zasada nieoznaczoności pomiaru momentu pędu układu kwantowego) – faktowi temu odpowiada w opisie mechaniki kwantowej fakt teoretyczny: komutator dwóch dowolnych składowych tego operatora jest niezerowy.

(2) Identyczne reguły komutacyjne spełnia też operator spinu. Dlatego także nie jest możliwy jednoczesny pomiaru wszystkich składowych spinu.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • B. Średniawa, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1978, s. 70–72, 166-171, 369-378.