Grupa SU(2), czyli specjalna grupa unitarna rzędu 2 – grupa macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1.

Reprezentacja fundamentalna tej grupy składa się z macierzy wymiaru o wyrazach ze zbioru liczb zespolonych, tj.

gdzie np. to liczba sprzężona do

Inne reprezentacje grupy tworzą macierze wyższego wymiaru, przy tym ich generatory spełniają identyczne warunki komutacyjne jak generatory reprezentacji fundamentalnej (omówiono to w artykule).

Działaniem grupowym w każdej reprezentacji jest operacja mnożenia macierzy. Elementem neutralnym grupy w danej reprezentacji jest macierz jednostkowa (o wymiarze równym wymiarowi macierzy tej reprezentacji). Elementem odwrotnym jest macierz odwrotna dodanej macierzy.

Grupa jest podgrupą w grupie macierzy unitarnych która z kolei jest podgrupą pełnej grupy liniowej Centrum grupy jest izomorficzne z grupą cykliczną

TopologiaEdytuj

Grupa   jest rozmaitość różniczkową wymiaru 3, jednospójną i zwartą; jako grupa jest grupą Liego: grupa macierzy   jest grupą ciągłą, tzn. elementy macierzy należących do grupy są wyrażone za pomocą funkcji różniczkowalnych i ciągłych, należnych od 3 parametrów liniowo niezależnych. Algebra Liego su(2) związana z grupą Liego   posiada   generatory  

Reprezentacja fundamentalna grupy SU(2)Edytuj

GeneratoryEdytuj

Generatory algebry Liego   dla reprezentacji fundamentalnej grupy   Generatory reprezentacji fundamentalnej grupy SU(2) wyrażają się poprzez wymiaru 2 × 2; najczęściej wybiera się jako generatory macierze Pauliego mnożone przez 1/2, tj.

 

czyli

     

Reguły komutacji generatorówEdytuj

Generatory te spełniają reguły komutacji:

 
 
 

gdzie   – komutator.

Reguły komutacji można zapisać za pomocą wzoru

 

gdzie:   oznacza tzw. symbol antysymetryczny:

  •   gdy liczby   są parzystą permutacją liczb 123,
  •   gdy liczby   są nieparzystą permutacją liczb 123,
  •   gdy dwie lub trzy liczby   są takie same.

Reguły antykomutacji:

 

gdzie  delta Kroneckera

Stałe strukturyEdytuj

Z postaci komutatora widać że tensor antysymetryczny wyznacza stałe struktury grupy, tzn.

 

– stałe te (prawie) zupełnie determinują strukturą multiplikatywną grupy (tj. wyniki mnożenia elementów grupy przez siebie). Generatory   definiują algebrę Liego   tworząc jej bazę. Macierze te nie są jedynymi macierzami   które spełniają te same warunki komutacji.

Inne reprezentacji grupy  Edytuj

Możliwe są więc także różne reprezentacje macierzowe tej samej grupy: generatorami tych reprezentacji są macierze wymiaru większego niż 2, które spełniają te same reguły komutacyjne co generatory wymiaru   – te ostatnie nazywa się generatorami reprezentacji fundamentalnej (definiującej) grupy  

Macierz SU(2) wyrażona za pomocą generatorówEdytuj

Dowolną macierz grupy   w jej reprezentacji wymiaru   można wyrazić za pomocą eksponenty

 

gdzie:

  •   takie, że     – wektor jednostkowy, skierowany wzdłuż osi obrotu,
  •   – kąt obrotu (określony zgodnie z regułą prawej dłoni) wokół danej osi zadanej wektorem  
  •   – generatory danej reprezentacji o wymiarze  

Uwaga 1: Wykładnik w eksponencie powyższego wzoru przedstawia sumę macierzy antyhermitowskich bezśladowych (np. dla reprezentacji fundamentalnej   generatorami są macierze Pauliego, mnożone przez odpowiednie współczynniki – w efekcie w eksponencie mamy macierz antyhermitowską bezśladową) – jest to warunek konieczny, by generowana macierz była unitarna; bezśladowość zapewnia, że wyznacznik generowanej macierzy jest równy 1 – dlatego generowania jest specjalna macierz unitarna.

Uwaga 2: Grupa   jest grupą zwartą, zależną od 3 liniowo niezależnych parametrów   które należą do zbioru zwartego   przy czym:

     
– współrzędne kartezjańskie wektora jednostkowego, skierowanego wzdłuż osi obrotu,
  – kąt obrotu wokół tej osi
oraz
   

Zobacz teżEdytuj

Grupy

Inne

BibliografiaEdytuj

  • F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, PWN, Warszawa 1975, Tom 2.
  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
  • Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ​ISBN 978-3319134666​.

Linki zewnętrzneEdytuj