Grupa SO(2)

Grupa SO(2), specjalna grupa ortogonalna rzędu 2 – grupa macierzy ortogonalnych stopnia 2 o wyznaczniku 1. Macierze te mają postać

M={\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}},

gdzie:

x,y\in R

oraz

x^{2}+y^{2}=1

(ostatni warunek gwarantuje, że

\det M=1

).

Działaniem grupowym jest operacja mnożenia macierzy.

Parametryzacja grupy SO(2)

Grupa ta jest parametryzowalna przez parametr $\phi \in [0,2\pi ]{:}$

M(\phi )={\begin{pmatrix}\cos(\phi )&-\sin(\phi )\\\sin(\phi )&\cos(\phi )\end{pmatrix}}.

Parametrowi $\phi$ można nadać sens kąta obrotu na płaszczyźnie. Grupa SO(2) jest więc grupą obrotów na płaszczyźnie.

Grupa macierzy SO(2) jest izomorficzna z grupą liczb zespolonych o module 1, tj. z grupą liczb postaci $e^{i\phi }.$

Grupa macierzy SO(2) z nawiasem Liego zadanym przez komutator

\left[A_{1},A_{2}\right]=A_{1}A_{2}-A_{2}A_{1}

staje się grupą Liego $SO(2).$ Generatorem tej grupy jest macierz

G={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}.

Każdą macierz grupy $SO(2)$ wymiaru $2\times 2$ można otrzymać z eksponenty generatora, mnożonego przez parametr $\phi$

M(\phi )=e^{\phi \,G}.

H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1997.