Eksponenta macierzy

Eksponenta macierzy – funkcja macierzowa zdefiniowana dla macierzy kwadratowych analogicznie jak klasyczna funkcja wykładnicza. Eksponentą macierzy rzeczywistej lub zespolonej $X$ wymiaru $n\times n$ jest macierz wymiaru $n\times n,$ oznaczana jako $e^{X}$ albo $\exp(X),$ zadana przez szereg potęgowy:

e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,X^{k},

przy czym przyjmuje się:

$X^{0}=I,$
w szczególności $0^{0}=I,$

gdzie $I$ – macierz jednostkowa $n\times n,$ $0$ – macierz zerowa $n\times n.$

Twierdzenia IEdytuj

Oznaczenia:

$X,$ $Y$ – dowolne macierze zespolone $n\times n$
$a,$ $b$ – dowolne liczby zespolone

Twierdzenia:

(1)

e^{0}=I

(2)

e^{X^{T}}=(e^{X})^{T}

gdzie

X^{T}

– macierz transponowana macierzy

X

(3)

e^{X^{\dagger }}=(e^{X})^{\dagger }

gdzie

X^{\dagger }

– macierz hermitowsko sprzężona do macierzy

X

(4) Jeżeli macierz

Y

jest odwracalna, to

e^{YXY^{-1}}=Ye^{X}Y^{-1}

(5) Jeżeli macierze

X

i

Y

komutują (tzn. ich mnożenie jest przemienne,

XY=YX

), to

e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}

Z tw. (5) wynika, że:

(6)

e^{X}e^{-X}=e^{0}=I

(7)

e^{aX}e^{bX}=e^{(a+b)X}

Twierdzenia IIEdytuj

(8) Jeżeli

X

jest macierzą symetryczną, to

e^{X}

jest macierzą symetryczną.

(9) Jeżeli

X

jest macierzą antysymetryczną, to

e^{X}

jest macierzą ortogonalną.

(10) Jeżeli

X

jest macierzą hermitowską, to

e^{X}

jest macierzą hermitowską.

(11) Jeżeli

X

jest macierzą antyhermitowską, to

e^{X}

jest macierzą unitarną.

Obliczanie eksponenty macierzyEdytuj

Macierz diagonalnaEdytuj

Jeżeli macierz jest diagonalna

A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}},

to

e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\ldots &0\\0&e^{a_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.

Macierz diagonalizowalnaEdytuj

Jeżeli macierz można zdiagonalizować do postaci

A=UDU^{-1},

gdzie $D$ – macierz diagonalna, to z tw. (4) wynika, że

e^{A}=Ue^{D}U^{-1}.

Zobacz teżEdytuj

Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Eksponenta_macierzy&oldid=69701717”