Eksponenta macierzy

Eksponenta macierzy – funkcja macierzowa zdefiniowana dla macierzy kwadratowych analogicznie jak klasyczna funkcja wykładnicza. Eksponentą macierzy rzeczywistej lub zespolonej wymiaru jest macierz wymiaru oznaczana jako albo zadana przez szereg potęgowy:

przy czym przyjmuje się:

  • w szczególności

gdzie – macierz jednostkowa – macierz zerowa

Twierdzenia IEdytuj

Oznaczenia:

  •     – dowolne macierze zespolone  
  •     – dowolne liczby zespolone

Twierdzenia:

(1)  
(2)  
gdzie  macierz transponowana macierzy  
(3)  
gdzie   – macierz hermitowsko sprzężona do macierzy  
(4) Jeżeli macierz   jest odwracalna, to  
(5) Jeżeli macierze   i   komutują (tzn. ich mnożenie jest przemienne,  ), to
 

Z tw. (5) wynika, że:

(6)  
(7)  

Twierdzenia IIEdytuj

(8) Jeżeli   jest macierzą symetryczną, to   jest macierzą symetryczną.
(9) Jeżeli   jest macierzą antysymetryczną, to   jest macierzą ortogonalną.
(10) Jeżeli   jest macierzą hermitowską, to   jest macierzą hermitowską.
(11) Jeżeli   jest macierzą antyhermitowską, to   jest macierzą unitarną.

Obliczanie eksponenty macierzyEdytuj

Macierz diagonalnaEdytuj

Jeżeli macierz jest diagonalna

 

to

 

Macierz diagonalizowalnaEdytuj

Jeżeli macierz można zdiagonalizować do postaci

 

gdzie  macierz diagonalna, to z tw. (4) wynika, że

 

Zobacz teżEdytuj