Macierz hermitowska

Macierz hermitowska (albo samosprzężona) – macierz kwadratowa równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu, tj. macierz spełniająca warunek

Nieskończenie wymiarowym uogólnieniem macierzy hermitowskiej jest operator samosprzężony (hermitowski).

Szczególnym przypadkiem macierzy hermitowskich są rzeczywiste macierze symetryczne.

PrzykładyEdytuj

Macierze hermitowskie 2 × 2Edytuj

  • macierze symetryczne rzeczywiste, tj.   np.  
  • macierze zespolone, np.  
 
  • macierz zbudowana z macierzy Pauliego
 

Macierze hermitowskie 3 × 3Edytuj

  • macierze symetryczne rzeczywiste, tj.
  np.  
  •  
Macierz ta jest hermitowska, ponieważ:
 

Macierze hermitowskie 4 × 4Edytuj

 

Ogólna postać macierzy hermitowskiej. Algebry LiegoEdytuj

Macierze hermitowskie wymiaru   mają na przekątnej liczby rzeczywiste   a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są liczbami zespolonymi wzajemnie sprzężonymi.

Macierze hermitowskie wymiaru   mają ogólną postać

 

gdzie   – sprzężenia zespolone liczb  

Macierze te zależą w ogólności od   parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową   – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru   zależą od   parametrów (warunek   daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego   Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.

Macierze hermitowskie 2 × 2Edytuj

– mają ogólną postać

 

gdzie:

  •  
  •   – sprzężenie zespolone liczby  

Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów   i tworzą przestrzeń wektorową 4- wymiarową.

Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń   – wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego.

Macierze hermitowskie 3 × 3Edytuj

– mają ogólną postać

 

Macierze te zależą w ogólności od   parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb  ) i tworzą przestrzeń wektorową   – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru   zależą od   parametrów i tworzą podprzestrzeń   -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna.

WłasnościEdytuj

Dowód: Niech   będzie wartością własną macierzy   tj.   dla pewnego niezerowego wektora   Wówczas
 
co dowodzi, że   jest liczbą rzeczywistą, ponieważ  
Dowód: Niech   i   będą różnymi wartościami własnymi macierzy   dla pewnych wektorów, kolejno   i   tj.   oraz   Wówczas:
 
ponieważ wartości własne są rzeczywiste, a więc  
Stąd:
 
ponieważ   (macierz niezdegenerowana),   a więc wektory   i   są ortogonalne.
  • Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.
  • Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną.

Formy hermitowskieEdytuj

Formę   na zespolonej przestrzeni liniowej   nazywa się hermitowską jeżeli

  1.  
  2.  

Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli   jest  -wymiarową macierzą hermitowską, to wzór

 

definiuje formę hermitowską w przestrzeni   (symbol   oznacza postać kolumnową wektora poziomego  ).

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj