Operator samosprzężony

Operator samosprzężony (hermitowski) – odwzorowanie liniowe działające na skończenie wymiarowej, zespolonej przestrzeni wektorowej takie że

gdzie:

iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni
– wektor powstały w wyniku działania operatora na wektor
sprzężenie hermitowskie wektora

Operatory samosprzężone używane są w analizie funkcjonalnej.

W mechanice kwantowej operatory samosprzężone reprezentują wielkości mierzone – nazywa się je obserwablami. Przydatność operatorów hermitowskich wynika stąd, że ich wartości własne są liczbami rzeczywistymi i z tej racji mogą określać wyniki pomiarów fizycznych.

Operator samosprzężony skończenie wymiarowy można reprezentować za pomocą macierzy hermitowskiej (samosprzężonej).

Macierz operatora hermitowskiegoEdytuj

Jeżeli   jest przestrzenią skończenie wymiarową i ma bazę ortogonalną, to macierz operatora   jest macierzą hermitowską (tj. równą swojemu sprzężeniu hermitowskiemu).

Dowód: Niech   oznacza teraz macierz. Obliczanie sprzężenia hermitowskiego wektora   oznacza obliczanie tego sprzężenia dla iloczynu macierzy i wektora. Ponieważ sprzężenie hermitowskie iloczynu jest iloczynem sprzężeń wziętych w odwrotnej kolejności

 

to wstawiając do definicji operatora hermitowskiego wielkości   oraz   otrzyma się

 

co implikuje

 

czyli macierz operatora musi być samosprzężona (hermitowska)

Z twierdzenia spektralnego dla przestrzeni skończenie wymiarowych wynika, że istnieje w przestrzeni   bazę ortonormalną, taka że macierz operatora   wyrażonego w tej bazie jest macierzą diagonalną, przy czym jej elementy są liczbami rzeczywistymi.

Rozważa się uogólnienie powyższej idei na operatory działające w przestrzeni Hilberta dowolnego wymiaru.

Operatory samosprzężone w mechanice kwantowejEdytuj

Operatory samosprzężone występują w sformułowaniu mechaniki kwantowej podanym przez Diraca–von Neumanna: wielkości fizyczne, takie jak energia, położenie, pęd, moment pędu czy spin są wartościami własnymi operatorów, przypisanym tym wielkościom. To, w jakich stanach energii, pędu itp. można znaleźć dany układ kwantowy w wyniku wykonania pomiaru, oblicza się działając odpowiednim operatorem na wektor stanu   układu (wektor ten należy do przestrzeni Hilberta skonstruowanej dla tego układu).

1. Szczególne znaczenie ma operator energii (operator Hamiltona)   Np. dla pojedynczej cząstki ma on postać

 

Wartości własne tego operatora przedstawiają energie całkowite (tj. sumy energii kinetycznej i potencjalnej), jakie może posiadać cząstka o masie   oddziałująca z polem potencjalnym   Przykładem jest np. elektron w atomie wodoru. Rozwiązanie zagadnienia własnego prowadzi do wyznaczenia poziomów energetycznych elektronu w atomie.

2. Macierze Pauliego występują w zapisie operatorów pomiaru spinu cząstek układu kwantowego, np.

 

– macierze te są samosprzężone.

Operatory przestrzeni nieskończenie wymiarowejEdytuj

Operatory samosprzężone zdefiniowane na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta mają strukturę podobną do operatorów przestrzeni skończenie wymiarowych. Tzn. operatorem samosprzężonym jest taki i tylko taki operator, że jest on unitarnie równoważny operatorowi mnożenia o wartościach rzeczywistych. Pojęcie to może być z małymi modyfikacjami rozszerzone na przestrzenie nieskończenie wielowymiarowe.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj