Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej uogólniających twierdzenie teorii macierzy mówiące, że

Każda macierz normalna może zostać zdiagonalizowana (przy pomocy odpowiedniej macierzy przejścia).

Ściślej, jeżeli traktujemy macierz normalną jako macierz pewnego endomorfizmu przestrzeni euklidesowej, to można znaleźć bazę ortonormalną tej przestrzeni, w której macierz ta będzie diagonalna. Twierdzenia spektralne uogólniają ten fakt na przestrzenie nieskończenie wymiarowe z punktu widzenia algebry i analizy funkcjonalnej.

Operatory samosprzężoneEdytuj

Przypadek rzeczywistyEdytuj

Niech   będzie przestrzenią ortogonalną nad ciałem liczb rzeczywistych z dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym[1]. Jeśli   jest endomorfizmem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni   złożona z wektorów własnych endomorfizmu  

Przypadek zespolonyEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad ciałem liczb zespolonych z formą hermitowską dodatnio określoną[1]. Jeśli   jest operatorem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni   złożona z wektorów własnych operatora  

WniosekEdytuj

Przy założeniach powyższych twierdzeń:

Istnieje baza ortonormalna przestrzeni   złożona z wektorów własnych operatora   Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).

Operatory normalneEdytuj

Twierdzenie spektralne mówi, że każdemu operatorowi normalnemu odpowiada dokładnie jedna hermitowska miara spektralna na rodzinie borelowskich podzbiorów jego widma o tej własności, że operator ten może być odtworzony z niej w sposób jednoznaczny. Ściślej, jeśli   jest przestrzenią Hilberta oraz   jest operatorem normalnym, to istnieje dokładnie jedna hermitowska miara spektralna   określona na rodzinie borelowskich podzbiorów   taka, że

 

Hermitowskie miary spektralne są miarami wektorowymi, a całka w powyższym wzorze oznacza właśnie całkę względem miary wektorowej z (tożsamościowej) funkcji skalarnej.

WłaściwościEdytuj

  • Miara spektralna   z powyższego twierdzenia nazywana jest również rozkładem spektralnym operatora   lub przedstawieniem spektralnym operatora  
  • Jeżeli   jest borelowskim podzbiorem   oraz   jest operatorem ograniczonym, który komutuje z   tzn.   to operator (hermitowskie miary spektralne mają wartości operatorowe)   komutuje z  
  • Twierdzenie spektralne może być postrzegane jako szczególny przypadek twierdzenia dotyczącego raczej całych algebr operatorów normalnych niż ich pojedynczych elementów:
Niech   oznacza algebrę wszystkich ograniczonych (ciągłych) operatorów na przestrzeni Hilberta   Jeśli   jest domkniętą podalgebrą   złożoną z operatorów normalnych, która zawiera operator identycznościowy   i jeśli   jest przestrzenią ideałów maksymalnych   to
(a) istnieje dokładnie jedna miara wektorowa   na rodzinie borelowskich podzbiorów   o wartościach w   taka, że
 
dla każdego   gdzie   jest transformacją Gelfanda  
(b) odwrotną transormację Gelfanda (tj. odwzorowanie  ) można przedłużyć do izometrycznego *-izomorfizmu   algebry   na domkniętą podalgebrę   w     Co więcej, *-izomorfizm   wyraża się wzorem
 
Dokładniej,   jest izometrycznym operatorem liniowym i multyplikatywnym takim, że   dla  
(c)  
(d) jeśli   jest otwarty i niepusty, to  
(e) operator   komutuje z każdym   wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego   operator   komutuje z  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b Przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek przestrzeni Hilberta.

BibliografiaEdytuj