Twierdzenie Riesza-Skorochoda
twierdzenie teorii miary
Twierdzenie Riesza-Skorochoda – twierdzenie z pogranicza teorii miary i analizy funkcjonalnej, postulujące, że dla nieujemnego funkcjonału liniowego, spełniającego warunek Skorochoda, istnieje dokładnie jedna miara, po której całka jest tym funkcjonałem.
Ustalenia wstępne
edytujUstalmy przestrzeń metryczną i niech:
- – σ-ciało wszystkich podzbiorów borelowskich przestrzeni
- – przestrzeń wszystkich ciągłych i ograniczonych odwzorowań przestrzeni w z normą supremum.
Funkcjonał liniowy nazywamy nieujemnym, gdy dla każdej ciągłej i ograniczonej funkcji
Uwagi
edytuj- Każdy nieujemny funkcjonał liniowy jest ciągły, oraz
- Jeżeli jest miarą skończoną, to funkcjonał dany wzorem
jest liniowy i nieujemny, a jeżeli przestrzeń jest przestrzenią polską, to spełniony jest:
Warunek Skorochoda
edytujDla każdego istnieje taki zbiór zwarty że
Twierdzenie Riesza-Skorochoda
edytujJeżeli nieujemny funkcjonał liniowy spełnia warunek Skorochoda, to istnieje dokładnie jedna taka miara że
- dla
Wniosek
edytujDla każdego ciągłego funkcjonału liniowego istnieje dokładnie jedna taka σ-addytywna funkcja zbiorów że
- dla