Twierdzenie Riesza-Skorochoda

Twierdzenie Riesza-Skorochodatwierdzenie z pogranicza teorii miary i analizy funkcjonalnej, postulujące, że dla nieujemnego funkcjonału liniowego, spełniającego warunek Skorochoda, istnieje dokładnie jedna miara, po której całka jest tym funkcjonałem.

Ustalenia wstępneEdytuj

Ustalmy przestrzeń metryczną   i niech:

 σ-ciało wszystkich podzbiorów borelowskich przestrzeni  
  – przestrzeń wszystkich ciągłych i ograniczonych odwzorowań przestrzeni   w   z normą supremum.

Funkcjonał liniowy   nazywamy nieujemnym, gdy   dla każdej ciągłej i ograniczonej funkcji  

UwagiEdytuj

  • Każdy nieujemny funkcjonał liniowy   jest ciągły,   oraz  
  • Jeżeli   jest miarą skończoną, to funkcjonał   dany wzorem
 

jest liniowy i nieujemny, a jeżeli przestrzeń   jest przestrzenią polską, to spełniony jest:

Warunek SkorochodaEdytuj

Dla każdego   istnieje taki zbiór zwarty   że

 

Twierdzenie Riesza-SkorochodaEdytuj

Jeżeli nieujemny funkcjonał liniowy   spełnia warunek Skorochoda, to istnieje dokładnie jedna taka miara   że

  dla  

WniosekEdytuj

Dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego   istnieje dokładnie jedna taka σ-addytywna funkcja zbiorów   że

  dla