Otwórz menu główne

Przestrzeń unormowanaprzestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.

Przestrzenie unormowane pojawiają się w różnych działach matematyki, jak np. analiza matematyczna, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe.

Podwaliną powstania teorii przestrzeni unormowanych stały się badania zainicjowane przez matematyków w pierwszej połowie XX w. nad przestrzeniami Banacha. Przestrzeniami Banacha są przestrzenie unormowane, takie że norma indukuje metrykę, przy czym metryka ta ma szczególną własność – jest zupełna.

Teoria przestrzeni unormowanych, szczególnie teoria przestrzeni Banacha, jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej.

Definicje: normy, przestrzeni unormowanejEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem   liczb rzeczywistych bądź zespolonych[1].
Odwzorowanie   nazywa się normą w przestrzeni   jeśli dla wszystkich elementów   i skalarów   spełnia następujące warunki:

  1. niezdegenerowania
     
  2. dodatniej jednorodności
     
  3. nierówności trójkąta (podaddytywności)
     

Przestrzeń   z określoną normą   nazywa się przestrzenią unormowaną.

Uwagi

(1) Każde odwzorowanie spełniające warunek 2. spełnia również warunek

 

(2) Z tego powodu wielu autorów zamiast warunku 1. przyjmuje następujący warunek

 

Przykłady normEdytuj

 
Kule (koła) jednostkowe na płaszczyźnie dwuwymiarowej w sensie norm   i  

P-normy

W przestrzeniach współrzędnych   lub   można wprowadzić wiele norm. Niech  

Funkcje postaci

 

są normami dla   nazywanymi p-tymi normami.

Normę   nazywa się normą euklidesową i oznacza po prostu   o ile nie prowadzi to do nieporozumień.

Norma maximum

W przestrzeni   można wyróżnić także normę maksimum zadaną wzorem

 

Jej oznaczenie jest zgodne z p-tymi normami w tym sensie, iż   przy  

Norma supremum

Jeżeli   jest przestrzenią zwartą, to przestrzeń   wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych, określonych na   jest przestrzenią unormowaną (a nawet przestrzenią Banacha) z normą daną wzorem

 

Norma indukowana przez iloczyn skalarnyEdytuj

Tw. 1

Jeśli   jest przestrzenią unitarną z iloczynem skalarnym   to dla dowolnego   wzór

 

definiuje normę w tej przestrzeni.

Df. 2

Normą generowaną (indukowaną) przez iloczyn skalarny nazywa się normę zdefiniowaną w oparciu o iloczyn skalarny.

Tw. 2 (tożsamość równoległoboku)

Normy generowane przez iloczyn skalarny spełniają tożsamość równoległoboku, tzn.

 

Tw. 3 (tożsamość polaryzacyjna)

Jeśli norma danej przestrzeni nie spełnia tożsamości równoległoboku, to nie można w niej wprowadzić iloczynu skalarnego; jeśli jednak spełnia ona tę tożsamość, to iloczyn skalarny zadany jest za pomocą następującej tożsamości polaryzacyjnej:

 

Równoważność normEdytuj

Df. 3 (równoważności norm)

Dwie normy przestrzeni liniowej nazywane są równoważnymi, gdy metryki przez nie generowane wyznaczają tę samą topologię.

Uwaga: Badanie równoważności norm sprowadza się z powyższej racji do badania równoważności metryk.

Tw. 4 (o równoważności norm)

Warunkiem koniecznym i wystarczającym równoważności norm   w przestrzeni   jest istnienie dwóch takich dodatnich liczb rzeczywistych   które dla każdego elementu   spełniają warunek

 

Tw. 5 (o zupełności norm)

Z powyższego wynika bezpośrednio, że:

Jeżeli dwie normy w danej przestrzeni są równoważne oraz jedna z nich jest zupełna (w sensie metryk przez nie indukowanych), to druga również jest zupełna.

Tw. 6

W skończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej istnieje dokładnie jedna topologia liniowa – oznacza to, że wszystkie normy są takiej przestrzeni parami równoważne i zupełne.

Tw. 7

W każdej nieskończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej można wprowadzić nieskończenie wiele parami nierównoważnych norm.

Przykłady przestrzeni unormowanychEdytuj

(1) Przestrzenie należące do przestrzeni Banacha, np. przestrzenie Lp, przestrzenie Sobolewa, przestrzenie Hardy’ego.

(2) Każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha, która nie jest domknięta, jest przestrzenią unormowaną (ale nie jest przestrzenią Banacha).

(3) Przestrzeń   wszystkich ciągów liczbowych, których tylko skończenie wiele wyrazów jest niezerowych jest przestrzenią unormowaną, ale niezupełną (przestrzeń ta jest podprzestrzenią przestrzeni  ).

(4) Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa (o wartościach w przestrzeni nieskończeniewymiarowej) – to przestrzeń unormowana, ale niezupełna.

Norma a metryka i topologiaEdytuj

Metryka indukowana przez normęEdytuj

W przestrzeni unormowanej   wzór

 

dla   definiuje metrykę na przestrzeni   Mówimy, że norma indukuje metrykę.

Topologia indukowana przez normęEdytuj

Topologia indukowana przez normę przestrzeni   jest liniowa w tym sensie, że przestrzeń liniowa   wraz z tą topologią tworzy przestrzeń liniowo-topologiczną (tzn. działania dodawania wektorów i działania mnożenia wektora przez skalar są ciągłe w sensie topologii produktowych, odpowiednio w   i  ), która jest ponadto lokalnie wypukła L standardową bazą lokalną otoczeń zera tej przestrzeni, złożoną z absolutnie wypukłych zbiorów domkniętych jest rodzina

 

kul domkniętych o środku w zerze i promieniu  

Z drugiej strony, tzw. kryterium Kołmogorowa podaje warunek konieczny i wystarczający na to, aby w danej przestrzeni liniowo-topologicznej można było wprowadzić normę wyznaczającą wyjściową topologię przestrzeni (o przestrzeniach tego typu mówi się, że są normowalne): przestrzeń liniowo-topologiczna jest normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest T1 oraz zawiera wypukłe i ograniczone otoczenie zera[2] (funkcjonał Minkowskiego wypukłego i ograniczonego otoczenia zera jest normą, która wyznacza wyjściową topologię przestrzeni).

Przestrzenie sprzężone i przestrzenie operatorówEdytuj

Jeżeli   jest dowolną przestrzenią liniową nad ciałem   to przestrzeń   funkcjonałów liniowych określonych na   i o wartościach w   oznacza się zwykle symbolem   i nazywa przestrzenią sprzężoną algebraicznie do  

W kontekście przestrzeni unormowanych rozważa się jednak częściej rodzinę tych funkcjonałów liniowych na nich określonych, które są ciągłe: tworzą one przestrzeń   nazywaną przestrzenią sprzężoną topologicznie; w przestrzeni tej można w naturalny sposób wprowadzić normę operatorową. Na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa przestrzenie sprzężone do przestrzeni unormowanych są zawsze przestrzeniami Banacha (ograniczając się do przestrzeni nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych), niezależnie od tego, czy przestrzeń   jest zupełna.

Każdą przestrzeń unormowaną X można izometrycznie zanurzyć w drugą przestrzeń sprzężoną   poprzez odwzorowanie

 

dane wzorem

 

Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że obraz przestrzeni X poprzez odwzorowanie   jest gęstym podzbiorem   w sensie  -topologii. Ważną klasę przestrzeni unormowanych stanowią przestrzenie refleksywne, tzn. te przestrzenie unormowane dla których odwzorowanie   jest suriekcją. Przestrzeń   jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy X ma tę własność, a więc każda unormowana przestrzeń refleksywna jest automatycznie przestrzenią Banacha.

Z każdą parą   przestrzeni unormowanych można stowarzyszyć przestrzeń   wszystkich ciągłych operatorów liniowych   W przestrzeni   wprowadza się normę wzorem

 

Ostatnie dwie równości mają sens tylko w przypadku, gdy   jest przestrzenią nietrywialną.

Pseudonorma. Przestrzeń pseudounormowanaEdytuj

Df. 3

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem   liczb rzeczywistych bądź zespolonych[1].
Odwzorowanie   nazywa się pseudonormą w przestrzeni   jeśli dla wszystkich elementów   i skalarów   spełnia następujące warunki:

  1. dodatniej jednorodności
     
  2. nierówności trójkąta (podaddytywności)
     

Uwaga:

Funkcję   nie spełnia warunku 1-go (niezdegenerowania), określającego normę, tj. nie jest prawdą, że dla każdego  

Df. 4 Przestrzeń   z określoną pseudonormą   nazywa się przestrzenią pseudounormowaną.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b Niektórzy autorzy, jak na przykład Nicolas Bourbaki, podają ogólniejszą definicję przestrzeni unormowanej, dopuszczając by K było dowolnym pierścieniem waluacji z dzieleniem – nie jest to jednak powszechna praktyka.
  2. A. Kołmogorow, Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes, Studia Math. vol. 5 (1934), s. 29–33.

BibliografiaEdytuj