Przestrzeń współrzędnych

Przestrzeń współrzędnych – prototypowy model przestrzeni liniowej skończonego wymiaru nad ustalonym ciałem; definiuje się ją jako przestrzeń produktową danego ciała nad skończonym zbiorem indeksów, w szczególności każde ciało można postrzegać jako jednowymiarową przestrzeń współrzędnych z działaniem mnożenia z ciała jako mnożenia przez skalar.

Definicja

Niech $K$ będzie ustalonym ciałem (takim jak liczby rzeczywiste $\mathbb {R} ,$ liczby zespolone $\mathbb {C}$). Zbiór ciągów $n$ elementów z ciała $K$ tworzy nad nim $n$-wymiarową przestrzeń liniową $K^{n}$ nazywaną przestrzenią współrzędnych z działaniami opisanymi poniżej.

Każdy wektor $\mathbf {x}$ ma postać

$\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$

przy czym elementy $x_{i}$ ciągu nazywa się jego składowymi. Działania przestrzeni liniowej na $K^{n}$ zdefiniowane są „po składowych”, czyli wzorami

$\mathbf {x+y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n}),$

$c\mathbf {x} =(cx_{1},cx_{2},\dots ,cx_{n}).$

Wektor zerowy ma postać

$\mathbf {0} =(0,0,\dots ,0),$

a wektor przeciwny do $\mathbf {x}$ dany jest wzorem

$\mathbf {-x} =(-x_{1},-x_{2},\dots ,-x_{n}).$

Wybór bazy

W przestrzeni współrzędnych wyróżniona jest rodzina ciągów postaci

$\mathbf {e} _{i}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0),$

gdzie $1$ oznaczająca element neutralny mnożenia w $K$ jest $i$-tym elementem ciągu, a pozostałe są równe $0,$ czyli elementowi neutralnemu dodawania w $K.$ Ponieważ każdy wektor $\mathbf {x}$ przestrzeni można jednoznacznie wyrazić za pomocą powyższej rodziny,

$\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i},$

w jednoznaczny sposób, to wspomniane wektory tworzą bazę $K^{n}$ – nazywa się ją bazą standardową lub bazę kanoniczną – współrzędne każdego z wektorów w tej bazie pokrywają się z jego składowymi. Nazwa tej przestrzeni wynika z twierdzenia mówiącego, iż każda $n$-wymiarowa przestrzeń liniowa $V$ nad ciałem $K$ ma strukturę identyczną ze strukturą przestrzeni $K^{n}.$ Jednakże metoda utożsamienia tych przestrzeni nie jest uniwersalna – wymaga określenia bazy w przestrzeni $V,$ a więc wskazania izomorfizmu (liniowego) $V\to K^{n}.$ W ten sposób przekształcenie to wprowadza niejako układ współrzędnych tej przestrzeni; dokładniej, jeśli $\mathrm {A} \colon K^{n}\to V$ jest izomorfizmem (różnowartościowym przekształceniem liniowym) danym wzorem

$\mathrm {A} (\mathbf {e} _{i})=\mathbf {a} _{i}$

dla $i=1,\dots ,n,$ to wektory $\mathbf {a} _{i}$ tworzą bazę przestrzeni $V.$ Podobnie dla każdej bazy uporządkowanej złożonej z wektorów $\mathbf {a} _{i}$ można wskazać izomorfizm $\mathrm {A} \colon K^{n}\to V$ dany wzorem

$\mathrm {A} (\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {a} _{i}.$

W ten sposób dowolny wektor $\mathbf {v}$ przestrzeni $V$ można utożsamić z wektorem $\mathbf {v} _{B}$ jego współrzędnych w bazie uporządkowanej $B=(\mathbf {b} _{i})$ należący do $K^{n},$ mianowicie

$\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {b} _{1}+v_{2}\mathbf {b} _{2}+\ldots +v_{n}\mathbf {b} _{n}$

odpowiada wtedy wektor złożony z jego współrzędnych w bazie $B,$

$\mathbf {v} _{B}=(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}).$

To jest właśnie powodem, dla którego $K^{n}$ nazywa się „przestrzenią współrzędnych” $n$-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem $K.$ Mogłoby się wydawać, że abstrakcyjne przestrzenie liniowe (skończonego wymiaru) w świetle dostępności przestrzeni współrzędnych są niepotrzebne, jednak niekiedy dogodniejsze jest operowanie w przestrzeni bez wybranej bazy („układu współrzędnych”); istnieją również przestrzenie liniowe, w których wybór bazy nie jest oczywisty bądź zaciemnia sytuację – nie mniej wszelkie obliczenia i konkretne wymagają wybrania pewnej bazy przestrzeni liniowej (zob. sekcję Uogólnienia).

Macierze

Składowe wektora $\mathbf {x}$ przestrzeni współrzędnych $K^{n},$ tzn. elementy ciągu $(x_{1},\dots ,x_{n})$ można zapisać w macierzy jednokolumnowej bądź jednowierszowej, tzn. typu $n\times 1$ lub $1\times n,$ mianowicie

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\quad {\mbox{ lub }}\quad {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\end{bmatrix}}.$

Działania na tych macierzach definiuje się identycznie jak opisano to w sekcji Definicja, z tego względu zwykle utożsamia się powyższe przestrzenie z przestrzenią współrzędnych bądź definiuje przestrzeń współrzędnych jako przestrzeń macierzy jednego z powyższych typów macierzy nad ciałem $K.$

Zwykle przedkłada się macierze jednokolumnowe nad macierze jednowierszowe nazywane odpowiednio wektorami kolumnowymi oraz wektorami wierszowymi, co ma swoje źródło w zastosowaniu macierzy typu $m\times n$ do opisu we współrzędnych (ustalonych bazach) przekształceń liniowych $K^{n}\to K^{m}.$ Wówczas działaniu przekształcenia liniowego na wektorze i składaniu przekształceń odpowiada mnożenie macierzy w naturalnym porządku, działaniom na przekształceniach $\mathrm {A} (\mathbf {x} ),\mathrm {A} \circ \mathrm {B}$ odpowiadają działania na macierzach $\mathbf {AX} ,\mathbf {AB} ,$ gdzie $\mathbf {A} ,\mathbf {B}$ są macierzami przekształceń liniowych $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,$ a kolejne elementy macierzy jednokolumnowej $\mathbf {X}$ pokrywają się z odpowiednimi elementami wektora $\mathbf {x} .$

Na mocy własności przekształcenia liniowego zachodzi

$\mathrm {A} (\mathbf {x} )=\mathrm {A} \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathrm {A} (\mathbf {e} _{i})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {a} _{i},$

gdzie $\mathbf {e} _{i}$ oznaczają wektory bazy standardowej; wynika stąd, że w celu obliczenia $i$-tej składowej obrazu $\mathrm {A} (\mathbf {x} )$ wystarczy znać $\mathbf {a} _{i},$ czyli obraz $i$-tego wektora bazowego $\mathbf {e} _{i}$ w przekształceniu $\mathrm {A} .$ W języku macierzy $\mathbf {AE} _{i}=\mathbf {A} _{i}$ oznacza $i$-tą kolumnę macierzy $\mathbf {A}$ odpowiadającej $\mathrm {A} .$ Działanie $\mathbf {AX}$ można wtedy traktować jako

$\mathbf {AX} =\mathbf {A} \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {E} _{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {AE} _{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {A} _{i},$

tzn. kombinację liniową składowych wektora kolumnowego $\mathbf {X}$ i wektorów kolumnowych $\mathbf {A} _{i}$ (por. mnożenie macierzy metodą współczynniki-wektory), co można zapisać w postaci macierzowej jako

$\mathbf {AX} ={\begin{bmatrix}x_{1}\mathbf {A} _{1}&\dots &x_{n}\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&\dots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}\mathbf {X} .$

Umożliwia to postrzeganie macierzy $\mathbf {A}$ jako ciągu wektorów kolumnowych – odpowiada temu traktowanie przekształcenia liniowego $K^{n}\to K^{m}$ jako przekształcenia wieloliniowego o $n$ argumentach w przestrzeń $K^{m}$ danego wzorem ${\mathsf {A}}(x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto \mathrm {A} ([x_{1},\dots ,x_{n}])=[x_{1}\mathbf {a} _{1},\dots ,x_{n}\mathbf {a} _{n}]$ – obserwacja ta ułatwia niekiedy rozważania teoretyczne.

Uogólnienia

Ponieważ elementami przestrzeni współrzędnych są ciągi, tzn. funkcje określone na zbiorze skończonym $\langle n\rangle =\{1,2,\dots ,n\}$ o wartościach w $K.$ W ten sposób wektory są funkcjami, które odwzorowują każdy z elementów $i$ zbioru $\langle n\rangle$ na $i$-tą składową tego wektora. Dlatego przestrzeń współrzędnych $K^{n}$ to w istocie przestrzeń $K^{\langle n\rangle }$ funkcji $\langle n\rangle \to K.$ Pomysł ten uogólnia się na przestrzenie funkcji indeksowanych za pomocą dowolnego zbioru $I$ w postaci tzw. przestrzeni funkcyjnych, w szczególności uogólnionej, czy nieskończonej przestrzeni współrzędnych.

Dualność

Wybór wektorów kolumnowych typu $n\times 1$ nie oznacza, że wektory wierszowe $1\times n$ nie są wtedy używane: z każdą przestrzenią współrzędnych $K^{n}$ można związać przestrzeń ${\underline {K^{n}}}$ (oznaczaną zwykle gwiazdką w indeksie górnym za symbolem przestrzeni) form liniowych $K^{n}\to K$ nazywanej przestrzenią dualną do $K^{n}.$ Każdą formę liniową na $K^{n}$ można przedstawić w bazach standardowych (obu przestrzeni) w postaci

$u(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}u_{i}x_{i}.$

Działanie formy $u$ na wektorze $\mathbf {x}$ jest liniowe ze względu tak na wektory, jak i na kowektory z osobna i daje wynik skalarny – można więc na nie patrzeć jako na formę dwuliniową ${\underline {K^{n}}}\times K^{n}\to K$ daną wzorem

$\langle u,\mathbf {x} \rangle =u(\mathbf {x} ).$

Ta niezdegenerowana forma dwuliniowa ustala w ten sposób parowanie doskonałe między kowektorami a wektorami przestrzeni $K^{n}$ definiując izomorfizm ${\underline {K^{n}}}\to K^{n}.$ Dzięki temu utożsamieniu forma $u$ określona na przestrzeni $K^{n}$ (będąca równocześnie wektorem przestrzeni do niej dualnej ${\underline {K^{n}}}$) znajduje przedstawienie w postaci wektora współrzędnych $\mathbf {u} ;$ z tego powodu formy liniowe na $K^{n}$ nazywa się też kowektorami tej przestrzeni.

Wspomniany izomorfizm (albo ogólniej: parowanie) umożliwia zdefiniowanie transpozycji lub sprzężenia przekształcenia $\mathrm {A} \colon K^{n}\to K^{m},$ czyli przekształcenia liniowego ${\underline {\mathrm {A} }}\colon {\underline {K^{m}}}\to {\underline {K^{n}}}$ (zwykle oznacza się je gwiazdką lub dużą literą „T” w indeksie górnym po prawej stronie symbolu przekształcenia), które odwzorowuje kowektory przestrzeni $K^{m}$ w kowektory na $K^{n}$ według wzoru ${\underline {\mathrm {A} }}(u)=u\circ \mathrm {A} ;$ jego obraz będący formą na $K^{n}$ nazywa się cofnięciem $u$ przez/wzdłuż $\mathrm {A} .$ Ze względu na obecność w obu przestrzeniach form dwuliniowych utożsamiających wektory z kowektorami możliwe jest scharakteryzowanie tego odwzorowania za pomocą tożsamości $\langle {\underline {\mathrm {A} }}(u),\mathbf {x} \rangle =\langle u,\mathrm {A} (\mathbf {x} )\rangle ,$ która byłaby spełniona dla wszystkich $u,\mathbf {x} .$

Z definicji mnożenia macierzy wynika, że jeśli wektory kolumnowe odpowiadają wektorom danej przestrzeni współrzędnych, to wektory wierszowe reprezentują jej kowektory, gdyż wspomniane parowanie w przypadku macierzy przyjmuje postać

${\underline {\mathbf {U} }}\mathbf {X} =\left[{\begin{smallmatrix}u_{1}&\dots &u_{n}\end{smallmatrix}}\right]\left[{\begin{smallmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{smallmatrix}}\right]=\left[\sum _{i=1}^{n}u_{i}x_{i}\right]={\big [}u(\mathbf {x} ){\big ]},$

gdzie podkreślenie oznacza izomorfizm $\mathrm {Mat} _{n\times 1}\to \mathrm {Mat} _{1\times n}$ odpowiadający utożsamieniu wektorów z kowektorami. Transpozycji przekształcenia liniowego odpowiada transpozycja (nazywana też przestawieniem i oznaczana standardowo dużą literą „T” w indeksie górnym za symbolem) macierzy $\mathbf {M}$ typu $m\times n$ dająca w wyniku macierz ${\underline {\mathbf {M} }}$ typu $n\times m,$ która polega na zamianie miejscami jej wierszy i kolumn (z zachowaniem ich porządku).

Choć oczywiste jest, iż ${\underline {\underline {\mathbf {A} }}}=\mathbf {A} ,$ to wcale nie jest jasne, iż ${\underline {\underline {\mathrm {A} }}}\colon {\underline {\underline {K^{n}}}}\to {\underline {\underline {K^{m}}}},$ a w szczególności, iż ${\underline {\underline {K^{n}}}}$ ma tę samą strukturę, co $K^{n}.$ Jak można się domyślać, skoro zachodzi równość dla macierzy, to istnieje pewne utożsamienie (izomorfizm) między tymi przestrzeniami – wynika to wprost z faktu, iż dowolne dwie przestrzenie liniowe równego wymiaru skończonego są izomorficzne. W tym wypadku istnieje jednak naturalne przekształcenie danej z przestrzeni z jej drugą dualną (tj. przestrzeni form liniowych określonych na przestrzeni form liniowych danej przestrzeni), które odwzorowywałoby wektor w „ko-kowektor”, czyli formę ${\underline {K^{n}}}\to K.$ Obliczenie wartości (tzw. ewaluacja) formy dla ustalonego wektora, $\mathrm {ev} _{\mathbf {x} }\colon u\mapsto u(\mathbf {x} ),$ jest przekształceniem liniowym ze względu na przyłożone formy, które jest elementem ${\underline {\underline {K^{n}}}}.$ Przekształcenie $\mathrm {ev} \colon \mathbf {x} \mapsto \mathrm {ev} _{\mathbf {x} },$ liniowe ze względu na przyłożone wektory, odwzorowuje więc $K^{n}$ w przestrzeń ${\underline {\underline {K^{n}}}}.$ W ten sposób działanie $\mathrm {ev}$ obliczania wartości formy $u$ przy jej działaniu na wektor $\mathbf {x}$ dane wzorem $\mathrm {ev} _{\mathbf {x} }(u)=u(\mathbf {x} )$ jest naturalnym parowaniem danej przestrzeni i przestrzeni do niej dualnej – przestrzenie, dla których istnieje tego rodzaju utożsamienie (zwykle jest ono tylko zanurzeniem), nazywa się refleksywnymi; są nimi w szczególności przestrzenie współrzędnych, o czym mówi ta uwaga (zob. para dualna).

Analizowanym w poprzedniej sekcji działaniom na przekształceniach, $\mathrm {A} (\mathbf {x} ),\mathrm {A} \circ \mathrm {B} ,$ odpowiada mnożenie następujących macierzy: ${\underline {\mathbf {XA} }}$ oraz ${\underline {\mathbf {BA} }},$ czyli w odwrotnym porządku – przedkładanie wektorów kolumnowych nad wierszowe przy opisie przekształceń liniowych jest więc czysto arbitralne i wynika z naturalnej w zachodniej kulturze chęci zapisu działań od lewej do prawej.

Iloczyn skalarny

W przestrzeni współrzędnych nad ciałem liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ definiuje się działanie odwzorowujące parę wektorów $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ w ciało jej skalarów nazywane iloczynem skalarnym tych wektorów:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.$

Odwzorowanie to wprowadza na przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ strukturę unitarną, w tym pojęcia „długości” i „odległości”; każda przestrzeń liniowa ma naturalną strukturę afiniczną nad samą sobą, dzięki czemu $\mathbb {R} ^{n}$ ma strukturę euklidesową.

Z definicji iloczynu skalarnego wynika, że jest przemienny i liniowy ze względu oba argumenty: w oparciu o poprzednią sekcję rozważania te sugerują istnienie niezdegenerowanej formy dwuliniowej $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ będącej parowaniem przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ ze sobą dzięki istnieniu formy ${\underline {\mathbb {R} ^{n}}}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ dającej izomorfizm ${\underline {\mathbb {R} ^{n}}}\to \mathbb {R} ^{n}.$ Dlatego choć iloczyn skalarny jest działaniem na wektorach, to operacje z jego wykorzystaniem muszą respektować utożsamienie wektorów z kowektorami (tj. działanie kowektorów na wektorach) – przekształceniami zachowującymi własności iloczynu skalarnego są przekształcenia ortogonalne (ich macierzami są macierze ortogonalne).

Inna natura obiektów manifestuje się w odmiennym ich zachowaniu przy zmianie bazy za pomocą przekształcenia nieortogonalnego (tj. przy nieortogonalnych automorfizmach przestrzeni liniowej, np. na prostoliniową, czy krzywoliniową): współrzędne wektorów przekształcają się w pewnym sensie „na przekór” (kontrawariantnie) przekształceniu przejścia między bazami, z kolei współrzędne kowektorów odwzorowywane są niejako „zgodnie” (kowariantnie) względem tego przekształcenia. Nie mniej obecność przestrzeni dualnej długo pozostawała niezauważona, a konieczność śledzenia wektorów i kowektorów stała się jednym z powodów, dla których preferuje się operowanie na przestrzeniach bez wybranych baz.

Podobnie można określić przestrzeń współrzędnych zespolonych w przypadku ciała liczb zespolonych i rozważać iloczyn skalarny dany jednak nieco innym wzorem, wówczas mówi się o przestrzeniach unitarnych, przekształceniach unitarnych i macierzach unitarnych.