Przestrzeń współrzędnych

Przestrzeń współrzędnych – prototypowy model przestrzeni liniowej skończonego wymiaru nad ustalonym ciałem; definiuje się ją jako przestrzeń produktową danego ciała nad skończonym zbiorem indeksów, w szczególności każde ciało można postrzegać jako jednowymiarową przestrzeń współrzędnych z działaniem mnożenia z ciała jako mnożenia przez skalar.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie ustalonym ciałem (takim jak liczby rzeczywiste   liczby zespolone  ). Zbiór ciągów   elementów z ciała   tworzy nad nim  -wymiarową przestrzeń liniową   nazywaną przestrzenią współrzędnych z działaniami opisanymi poniżej.

Każdy wektor   ma postać

 

przy czym elementy   ciągu nazywa się jego składowymi. Działania przestrzeni liniowej na   zdefiniowane są „po składowych”, czyli wzorami

 
 

Wektor zerowy ma postać

 

a wektor przeciwny do   dany jest wzorem

 

Wybór bazyEdytuj

Osobny artykuł: baza przestrzeni liniowej.

W przestrzeni współrzędnych wyróżniona jest rodzina ciągów postaci

 

gdzie   oznaczająca element neutralny mnożenia w   jest  -tym elementem ciągu, a pozostałe są równe   czyli elementowi neutralnemu dodawania w   Ponieważ każdy wektor   przestrzeni można jednoznacznie wyrazić za pomocą powyższej rodziny,

 

w jednoznaczny sposób, to wspomniane wektory tworzą bazę   – nazywa się ją bazą standardową lub bazę kanoniczną – współrzędne każdego z wektorów w tej bazie pokrywają się z jego składowymi. Nazwa tej przestrzeni wynika z twierdzenia mówiącego, iż każda  -wymiarowa przestrzeń liniowa   nad ciałem   ma strukturę identyczną ze strukturą przestrzeni   Jednakże metoda utożsamienia tych przestrzeni nie jest uniwersalna – wymaga określenia bazy w przestrzeni   a więc wskazania izomorfizmu (liniowego)   W ten sposób przekształcenie to wprowadza niejako układ współrzędnych tej przestrzeni; dokładniej, jeśli   jest izomorfizmem (różnowartościowym przekształceniem liniowym) danym wzorem

 

dla   to wektory   tworzą bazę przestrzeni   Podobnie dla każdej bazy uporządkowanej złożonej z wektorów   można wskazać izomorfizm   dany wzorem

 

W ten sposób dowolny wektor   przestrzeni   można utożsamić z wektorem   jego współrzędnych w bazie uporządkowanej   należący do   mianowicie

 

odpowiada wtedy wektor złożony z jego współrzędnych w bazie  

 

To jest właśnie powodem, dla którego   nazywa się „przestrzenią współrzędnych”  -wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem   Mogłoby się wydawać, że abstrakcyjne przestrzenie liniowe (skończonego wymiaru) w świetle dostępności przestrzeni współrzędnych są niepotrzebne, jednak niekiedy dogodniejsze jest operowanie w przestrzeni bez wybranej bazy („układu współrzędnych”); istnieją również przestrzenie liniowe, w których wybór bazy nie jest oczywisty bądź zaciemnia sytuację – nie mniej wszelkie obliczenia i konkretne wymagają wybrania pewnej bazy przestrzeni liniowej (zob. sekcję Uogólnienia).

MacierzeEdytuj

Składowe wektora   przestrzeni współrzędnych   tzn. elementy ciągu   można zapisać w macierzy jednokolumnowej bądź jednowierszowej, tzn. typu   lub   mianowicie

 

Działania na tych macierzach definiuje się identycznie jak opisano to w sekcji Definicja, z tego względu zwykle utożsamia się powyższe przestrzenie z przestrzenią współrzędnych[a] bądź definiuje przestrzeń współrzędnych jako przestrzeń macierzy jednego z powyższych typów macierzy nad ciałem  

Zwykle przedkłada się macierze jednokolumnowe nad macierze jednowierszowe nazywane odpowiednio wektorami kolumnowymi oraz wektorami wierszowymi, co ma swoje źródło w zastosowaniu macierzy typu   do opisu we współrzędnych (ustalonych bazach) przekształceń liniowych   Wówczas działaniu przekształcenia liniowego na wektorze i składaniu przekształceń odpowiada mnożenie macierzy w naturalnym porządku, działaniom na przekształceniach   odpowiadają działania na macierzach   gdzie   są macierzami przekształceń liniowych   a kolejne elementy macierzy jednokolumnowej   pokrywają się z odpowiednimi elementami wektora  

Na mocy własności przekształcenia liniowego zachodzi

 

gdzie   oznaczają wektory bazy standardowej; wynika stąd, że w celu obliczenia  -tej składowej obrazu   wystarczy znać   czyli obraz  -tego wektora bazowego   w przekształceniu   W języku macierzy   oznacza  -tą kolumnę macierzy   odpowiadającej   Działanie   można wtedy traktować jako

 

tzn. kombinację liniową składowych wektora kolumnowego   i wektorów kolumnowych   (por. mnożenie macierzy metodą współczynniki-wektory), co można zapisać w postaci macierzowej jako

 

Umożliwia to postrzeganie macierzy   jako ciągu wektorów kolumnowych – odpowiada temu traktowanie przekształcenia liniowego   jako przekształcenia wieloliniowego o   argumentach w przestrzeń   danego wzorem   – obserwacja ta ułatwia niekiedy rozważania teoretyczne[b].

UogólnieniaEdytuj

Ponieważ elementami przestrzeni współrzędnych są ciągi, tzn. funkcje określone na zbiorze skończonym   o wartościach w   W ten sposób wektory są funkcjami, które odwzorowują każdy z elementów   zbioru   na  -tą składową tego wektora. Dlatego przestrzeń współrzędnych   to w istocie przestrzeń   funkcji   Pomysł ten uogólnia się na przestrzenie funkcji indeksowanych za pomocą dowolnego zbioru   w postaci tzw. przestrzeni funkcyjnych, w szczególności uogólnionej, czy nieskończonej przestrzeni współrzędnych.

DualnośćEdytuj

Wybór wektorów kolumnowych typu   nie oznacza, że wektory wierszowe   nie są wtedy używane: z każdą przestrzenią współrzędnych   można związać przestrzeń   (oznaczaną zwykle gwiazdką w indeksie górnym za symbolem przestrzeni) form liniowych   nazywanej przestrzenią dualną do   Każdą formę liniową na   można przedstawić w bazach standardowych (obu przestrzeni) w postaci

 

Działanie formy   na wektorze   jest liniowe ze względu tak na wektory, jak i na kowektory z osobna i daje wynik skalarny – można więc na nie patrzeć jako na formę dwuliniową   daną wzorem

 

Ta niezdegenerowana forma dwuliniowa ustala w ten sposób parowanie doskonałe między kowektorami a wektorami przestrzeni   definiując izomorfizm   Dzięki temu utożsamieniu forma   określona na przestrzeni   (będąca równocześnie wektorem przestrzeni do niej dualnej  ) znajduje przedstawienie w postaci wektora współrzędnych   z tego powodu formy liniowe na   nazywa się też kowektorami tej przestrzeni.

Wspomniany izomorfizm (albo ogólniej: parowanie) umożliwia zdefiniowanie transpozycji lub sprzężenia przekształcenia   czyli przekształcenia liniowego   (zwykle oznacza się je gwiazdką lub dużą literą „T” w indeksie górnym po prawej stronie symbolu przekształcenia), które odwzorowuje kowektory przestrzeni   w kowektory na   według wzoru   jego obraz będący formą na   nazywa się cofnięciem[c]   przez/wzdłuż   Ze względu na obecność w obu przestrzeniach form dwuliniowych utożsamiających wektory z kowektorami możliwe jest scharakteryzowanie tego odwzorowania za pomocą tożsamości   która byłaby spełniona dla wszystkich  

Z definicji mnożenia macierzy wynika[d], że jeśli wektory kolumnowe odpowiadają wektorom danej przestrzeni współrzędnych, to wektory wierszowe reprezentują jej kowektory, gdyż wspomniane parowanie w przypadku macierzy przyjmuje postać

 

gdzie podkreślenie oznacza izomorfizm   odpowiadający utożsamieniu wektorów z kowektorami. Transpozycji przekształcenia liniowego odpowiada transpozycja (nazywana też przestawieniem i oznaczana standardowo dużą literą „T” w indeksie górnym za symbolem) macierzy   typu   dająca w wyniku macierz   typu   która polega na zamianie miejscami jej wierszy i kolumn (z zachowaniem ich porządku).

Choć oczywiste jest, iż   to wcale nie jest jasne, iż   a w szczególności, iż   ma tę samą strukturę, co   Jak można się domyślać, skoro zachodzi równość dla macierzy, to istnieje pewne utożsamienie (izomorfizm) między tymi przestrzeniami – wynika to wprost z faktu, iż dowolne dwie przestrzenie liniowe równego wymiaru skończonego są izomorficzne. W tym wypadku istnieje jednak naturalne przekształcenie danej z przestrzeni z jej drugą dualną (tj. przestrzeni form liniowych określonych na przestrzeni form liniowych danej przestrzeni), które odwzorowywałoby wektor w „ko-kowektor”, czyli formę   Obliczenie wartości (tzw. ewaluacja) formy dla ustalonego wektora,   jest przekształceniem liniowym ze względu na przyłożone formy, które jest elementem   Przekształcenie   liniowe ze względu na przyłożone wektory, odwzorowuje więc   w przestrzeń   W ten sposób działanie   obliczania wartości formy   przy jej działaniu na wektor   dane wzorem   jest naturalnym parowaniem danej przestrzeni i przestrzeni do niej dualnej – przestrzenie, dla których istnieje tego rodzaju utożsamienie (zwykle jest ono tylko zanurzeniem), nazywa się refleksywnymi; są nimi w szczególności przestrzenie współrzędnych, o czym mówi ta uwaga (zob. para dualna).

Analizowanym w poprzedniej sekcji działaniom na przekształceniach,   odpowiada mnożenie następujących macierzy:   oraz   czyli w odwrotnym porządku – przedkładanie wektorów kolumnowych nad wierszowe przy opisie przekształceń liniowych jest więc czysto arbitralne i wynika z naturalnej w zachodniej kulturze chęci zapisu działań od lewej do prawej[e].

Iloczyn skalarnyEdytuj

Osobny artykuł: iloczyn skalarny.

W przestrzeni współrzędnych nad ciałem liczb rzeczywistych   definiuje się działanie odwzorowujące parę wektorów   w ciało jej skalarów nazywane iloczynem skalarnym tych wektorów:

 

Odwzorowanie to wprowadza na przestrzeni   strukturę unitarną, w tym pojęcia „długości” i „odległości”; każda przestrzeń liniowa ma naturalną strukturę afiniczną nad samą sobą, dzięki czemu   ma strukturę euklidesową.

Z definicji iloczynu skalarnego wynika, że jest przemienny i liniowy ze względu oba argumenty: w oparciu o poprzednią sekcję rozważania te sugerują istnienie niezdegenerowanej formy dwuliniowej   będącej parowaniem przestrzeni   ze sobą dzięki istnieniu formy   dającej izomorfizm   Dlatego choć iloczyn skalarny jest działaniem na wektorach, to operacje z jego wykorzystaniem muszą respektować utożsamienie wektorów z kowektorami (tj. działanie kowektorów na wektorach) – przekształceniami zachowującymi własności iloczynu skalarnego są przekształcenia ortogonalne (ich macierzamimacierze ortogonalne).

Inna natura obiektów manifestuje się w odmiennym ich zachowaniu przy zmianie bazy za pomocą przekształcenia nieortogonalnego (tj. przy nieortogonalnych automorfizmach przestrzeni liniowej, np. na prostoliniową, czy krzywoliniową): współrzędne wektorów przekształcają się w pewnym sensie „na przekór” (kontrawariantnie) przekształceniu przejścia między bazami, z kolei współrzędne kowektorów odwzorowywane są niejako „zgodnie” (kowariantnie) względem tego przekształcenia. Nie mniej obecność przestrzeni dualnej długo pozostawała niezauważona, a konieczność śledzenia wektorów i kowektorów stała się jednym z powodów, dla których preferuje się operowanie na przestrzeniach bez wybranych baz.

Podobnie można określić przestrzeń współrzędnych zespolonych w przypadku ciała liczb zespolonych i rozważać iloczyn skalarny dany jednak nieco innym wzorem, wówczas mówi się o przestrzeniach unitarnych, przekształceniach unitarnych i macierzach unitarnych.

UwagiEdytuj

  1. Za pomocą izomorfizmów   lub   będących rzutami na odpowiednie współrzędne, por. definicje ciągu i macierzy.
  2. Przykładowo rozszerzenie jej na „wektory wektorów” pozwala w szczególności na traktowanie wyznacznika   macierzy typu   (np. macierzy Grama) jako formy wieloliniowej   jej wektorów kolumnowych, którym odpowiadają wektory przestrzeni   co daje przekształcenie   (wyznacznik traktuje się czasem jako wielomian  ). Daje to możliwość zdefiniowania go bez wyróżniania żadnego układu współrzędnych.
  3. Cofnięcie nazywane jest też z ang. „pullbackiem” (a nawet w formie spolszczonej: „pulbekiem”), bądź bardziej oficjalnie: produktem włóknistym; w geometrii różniczkowej analogicznie przekształcenie między przestrzeniami kostycznymi (które są liniowe) nazywa się odwzorowaniem kostycznym.
  4. Mnożenie macierzy przez skalar definiuje się zwykle jako oddzielne działanie, w przypadku wektorów kolumnowych i wierszowych można jednak do jego opisu użyć mnożenia macierzy – skalarom odpowiadają wtedy macierze   tj. wektory kolumnowe lub wierszowe o jednej współrzędnej – mają one te same własności mnożone lewostronnie przez wektor kolumnowy i prawostronnie przez wierszowy.
  5. Wybór przeciwny nie byłby tak niezwykły, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka: sposób zapisu z argumentami z lewej strony przekształcenia stosuje się czasem w teorii grup, w szczególności do zapisu homomorfizmów grup abelowych.