Macierz przekształcenia liniowego

Macierz przekształcenia liniowegomacierz będąca wygodnym zapisem we współrzędnych przekształcenia liniowego dwóch skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem z ustalonymi bazami. Dzięki temu, że mnożeniu macierzy oraz mnożeniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze, teoria macierzy staje się wygodnym językiem opisu przekształceń (w tym endomorfizmów) liniowych wyżej opisanych przestrzeni; jeśli nie wskazano żadnych baz, to każdą macierz o elementach z ciała można traktować jako przekształcenie liniowe między dwiema przestrzeniami współrzędnych.

DefinicjaEdytuj

Niech   i   będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem odpowiednio z bazami   oraz   zaś   będzie przekształceniem liniowym. Macierzą przekształcenia   w bazach   nazywa się taką macierz   typu   o współczynnikach z danego ciała, że dla każdego   zachodzi

 

tzn. w  -tej kolumnie macierzy   stoją współrzędne wektora   w bazie   Macierz przekształcenia   w bazach   będzie oznaczana także symbolem  

Uwaga: w dalszej części artykułu wszystkie przestrzenie liniowe oraz macierze są zbudowane nad ustalonym ciałem  

WłasnościEdytuj

Odpowiedniość między przekształceniami liniowymi i ich macierzami
Zobacz też: izomorfizm.

Przyporządkowanie każdemu przekształceniu liniowemu   jego macierzy   zadaje izomorfizm liniowy przestrzeni przekształceń liniowych   oraz przestrzeni macierzy   Liniowość wynika wprost z własności działań na macierzach,

 
 

a ponadto każde przekształcenie liniowe   jest zadane jednoznacznie przez podanie wartości na bazie, tzn.   Stąd odwzorowanie przyporządkowujące przekształceniom liniowym ich macierze jest wzajemnie jednoznaczne. Wynika stąd w szczególności, że jeśli   oraz   to  

Mnożenie macierzy a obraz wektora w przekształceniu
Osobne artykuły: mnożenie macierzyobraz.

Jeśli wektor   ma współrzędne   w bazie   zaś wektor   ma współrzędne   w bazie   przy czym   to

 

co można zapisać   gdzie   są macierzami jednokolumnowymi (tzw. wektorami kolumnowymi) odpowiadającymi wektorom  [1]

Zamiana współrzędnych i jej macierze

W szczególnym przypadku, jeśli   są bazami przestrzeni   i macierz   gdzie   jest przekształceniem identycznościowym, to jeśli wektor   ma współrzędne   w bazie   zaś   są jego współrzędnymi w bazie   to

 

tzn.   gdzie   są macierzami odpowiadającymi wektorom współrzędnych   jw., co oznacza, że mnożenie przez   zamienia współrzędne wektora   w bazie   na współrzędne w bazie   Stąd też macierz   nazywa się macierzą zamiany współrzędnych (bądź macierzą przejścia) od   do   Macierz   zamiany współrzędnych od   do   dana jest jako jej macierz odwrotna  

Mnożenie macierzy a składanie przekształceń

Jeśli   są przestrzeniami liniowymi odpowiednio z bazami   a   i   są przekształceniami liniowymi, to

 [2]

Wynika stąd, że jeśli   jest przekształceniem liniowym, układy   są bazami   układy   są bazami   oraz jeśli   i   są macierzami zamiany współrzędnych odpowiednio z   do   i z   do   to

 [3]
Rząd macierzy a rząd przekształcenia
Osobny artykuł: rząd.

Jeśli   jest przekształceniem liniowym, to dla każdej bazy   przestrzeni   i każdej bazy   przestrzeni   zachodzi

 

gdyż jeśli   to przyporządkowanie wektorowi przestrzeni   jego współrzędnych w bazie   zadaje izomorfizm   przy którym   przechodzi na podprzestrzeń rozpiętą na kolumnach macierzy  

PrzykładyEdytuj

Niech dane będą przestrzenie liniowe   oraz   (nad ciałem liczb rzeczywistych) oraz przekształcenie liniowe   zadane wzorem

 

w bazach standardowych. Macierz   przekształcenia   w bazach   oraz   jest postaci

 

gdyż wektory bazowe   przechodzą odpowiednio na wektory   oraz   zaś ich współrzędne w bazie   mają postać

 

oraz

 

Wartość   w bazie   na wektorze   który ma w   współrzędne   jest równa   tzn.

 

EndomorfizmyEdytuj

Przekształcenie liniowe   skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej   nazywa się endomorfizmem (liniowym), jego macierzą w bazie   jest   Wprost z definicji endomorfizmów wynika, że ich macierze są kwadratowe.

Jeśli   są bazami   zaś   oraz   to

 

gdzie   jest macierzą zamiany współrzędnych z   do   co wynika z ogólnej równości przedstawionej w Mnożenie macierzy a składanie przekształceń. Własność ta jest podstawą następującej definicji: dowolne macierze   dla których istnieje macierz odwracalna   spełniająca równość,

 

nazywa się macierzami podobnymi. Macierze te są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy są macierzami tego samego endomorfizmu (co najwyżej w różnych bazach).

Do stwierdzenia podobieństwa macierzy można wykorzystać rząd, wyznacznik i ślad, które nie ulegają zmianie przy endomorfizmach – wielkości te zawiera się zwykle w wielomianie charakterystycznym opisującym dany endomorfizm. Postać i rodzaj endomorfizmu można z kolei uzyskać badając jego wektory i wartości własne. Niektóre endomorfizmy mają w pewnych bazach szczególnie prostą postać, jaką jest macierz diagonalna, czyli przyjmująca niezerowe wartości wyłącznie na głównej przekątnej – nazywa się je diagonalizowalnymi, przy czym elementami na przekątnej macierzy są wartości własne tego endomorfizmu.

Choć nie wszystkie macierze kwadratowe są diagonalizowalne, to istnieje szersza od nich klasa macierzy Jordana (czyli macierzy, które dają się sprowadzić do postaci Jordana), dla których orzeczenie, czy dane macierze w postaci Jordana są podobne jest wyjątkowo łatwe. Macierze te, podobnie jak macierze diagonalne, łatwo się potęguje. Twierdzenie Jordana mówi z kolei, że dla każdego endomorfizmu przestrzeni liniowej nad ciałem algebraicznie domkniętymi (np. liczbami zespolonymi) istnieje taka baza, w której macierz tego endomorfizmu ma postać Jordana. Ogólniejsze twierdzenie Frobeniusa umożliwia określenie podobieństwa dowolnych dwóch macierzy kwadratowych za cenę badania pierścienia wielomianów nad ustalonym ciałem, zamiast samego ciała. Wszystkie te twierdzenia są wnioskami z twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych.

Podobne narzędzia wykorzystuje się dla przestrzeni nieskończenie wymiarowych, jednak zamiast zbioru jego wartości własnych (nazywanego widmem punktowym bądź spektrum punktowym) bada się jego pełne widmo (spektrum). Uogólnieniem diagonalizacji są różnorodne twierdzenia spektralne.

PrzypisyEdytuj

  1. Z definicji macierzy przekształcenia wynika  
  2. Przyjmując oznaczenia   oraz   zachodzi   tzn.   skąd wynika teza.
  3. Wynika to z równości