Widmo (matematyka)

Widmo (elementu algebry) – dla danego elementu (zwykle zespolonej) algebry z jedynką zbiór

przy czym oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze oraz jedynkę w tej algebrze. Widmo definiuje się także dla elementów algebr, które nie mają jedynki, traktując dany element jako element algebry po dołączeniu jedynki.

Widmo elementu a w pewnej algebrze A oznacza się również symbolem jeżeli z góry wiadomo o jakiej algebrze jest mowa. Często, pod pojęciem widma rozumie się widmo operatora ograniczonego na pewnej przestrzeni Banacha traktowanego jako element algebry Banacha wszystkich operatorów ograniczonych na Definicja widma ma również sens dla nieograniczonych operatorów domykalnych (określonych, na przykład, na gęstych podprzestrzeniach danej przestrzeni Banacha).

WłasnościEdytuj

  • Widmo każdego elementu dowolnej zespolonej algebry Banacha jest niepustym i zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej.
  • Algebra Banacha jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element ma skończone widmo[1].
  • Zachodzi następujący wzór Gelfanda (poniżej,   oznacza promień spektralny elementu   danej algebry Banacha  ):
 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. I. Kaplansky, Ring isomorphisms of Banach algebras, „Canad. J. Math.”, 6 (1954), 374–381.
  2. W. T. Gowers, B. Maurey, The unconditional basic sequence problem, „Jour. Amer. Math. Soc.” 6 (1993), 851–874.