Postać kanoniczna Frobeniusa macierzy nazywana w skrócie macierzą Frobeniusa (od nazwiska Ferdinanda Frobeniusa) – jedna z postaci kanonicznych normalnych macierzy kwadratowej. Definiuje się ją następująco[1]:

Przykłady:

Klasyfikacja

edytuj

Zachodzi następujące twierdzenie Frobeniusa o klasyfikacji macierzy nad pierścieniem wielomianów, nazywane także lematem Frobeniusa:

Jeśli   jest ciałem, a   jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad nim, to każda macierz nad pierścieniem   jest równoważna z dokładnie jedną macierzą kanoniczną Frobeniusa, to znaczy taką, która ma jedyne niezerowe elementy   na miejscach   przy czym niezerowe wielomiany   są unormowane i wszystkie wielomiany   spełniają warunek  

Twierdzenie (z wyjątkiem jednoznaczności) zachodzi dla macierzy nad dowolnym pierścieniem ideałów głównych, nad pierścieniem euklidesowym jest szybki algorytm znajdowania postaci kanonicznej Frobeniusa. Dla macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych   odpowiednia postać kanoniczna (z nieujemnymi elementami „diagonalnymi”   dla jednoznaczności) nazywana jest postacią kanoniczną Smitha.

Elementy „diagonalne”   nazywane są czynnikami niezmienniczymi macierzy. Dwie macierze tych samych rozmiarów nad pierścieniem ideałów głównych są równoważne, gdy ich czynniki niezmiennicze są stowarzyszone.

Jeśli   jest największym wspólnym dzielnikiem minorów stopnia   macierzy, to czynniki niezmiennicze tej macierzy wyrażają się wzorami:

   

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. Wojciech Mitkowski: Równania macierzowe i ich zastosowania. Kraków: AGH Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, 2006. ISBN 83-7464-055-3.