Ten artykuł dotyczy wyznaczniku macierzy. Zobacz też: Minor - jednostka osadnicza w USA.

Minorwyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.

PrzykładEdytuj

Niech dana będzie macierz

 

typu   nad ciałem liczb rzeczywistych.

Wykreślając drugi wiersz oraz drugą i trzecią kolumnę, a więc pozostawiając elementy na przecięciu wierszy o indeksach ze zbioru   oraz kolumn o indeksach ze zbioru   otrzymuje się minor równy

 

Powyższy minor nie jest główny, ponieważ   Minorem głównym macierzy   jest na przykład minor

 

utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach   oraz  

Wiodącymi minorami głównymi macierzy   są (w rosnącym porządku stopni):

 

DefinicjaEdytuj

Dla danej macierzy   typu   minorem stopnia   gdzie   nazywa się wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia   otrzymanej z macierzy   poprzez wykreślenie   wierszy i   kolumn.

Ściślej operacja wykreślania polega na wskazaniu pewnego podciągu indeksów   wierszy o długości   oraz podciągu indeksów   kolumn o długości   z dziedziny macierzy, czyli iloczynu kartezjańskiego   Tak wybrany zbiór indeksów   służy następnie obliczeniu wyznacznika macierzy  

Jeżeli   mają po   elementów, co oznacza, iż wykreślono wiersze i kolumny o tych samych indeksach pozostawiając ich   w obu przypadkach, to taki minor nazywa się minorem głównym stopnia   Minor główny stopnia   z którego wykreślono ostatnie   wierszy i   kolumn, a więc tak, by   nazywa się wiodącym minorem głównym stopnia  

Niekiedy minorami głównymi nazywa się wiodące minory główne zaniedbując te pierwsze.

Niekiedy minory macierzy oznacza się:             itd., gdzie   są kolumnami,   wierszami macierzy   a   jest iloczynem mieszanym.

WłasnościEdytuj

  • Z definicji (własności) wyznacznika wynika, iż minorami stopnia 1 danej macierzy są jej elementy, minorami głównymi stopnia 1 są elementy z głównej przekątnej macierzy, zaś wiodącym minorem głównym stopnia 1 jest element o indeksie  
  • Z definicji (własności) rzędu macierzy wynika, że dla macierzy rzędu   nad pewnym ciałem istnieje co najmniej jeden niezerowy minor stopnia   zaś każdy minor stopnia wyższego od   tej macierzy jest równy zeru (a więc rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy).
  • Kryterium Sylvestera: macierz hermitowska (w przypadku zespolonym; w przypadku rzeczywistym: symetryczna)   jest
    • dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wszystkie wiodące minory główne są dodatnie;
    • ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy wiodące minory główne parzystego stopnia są dodatnie, a nieparzystego – ujemne.
  • Dla danej macierzy   można wybrać   minorów stopnia   (gdzie   oznacza symbol Newtona).
  • Macierz typu   ma   wiodących minorów głównych, zaś macierz kwadratowa stopnia   ma ich dokładnie  

Zobacz teżEdytuj