Iloczyn mieszany

Iloczyn mieszanydziałanie określone dla trzech wektorów trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jako iloczyn skalarny jednego z nich przez iloczyn wektorowy dwóch pozostałych. Jeśli więc są dowolnymi wektorami to ich iloczyn mieszany ma postać:

Ponieważ zachodzą tożsamości

więc każde z powyższych trzech wyrażeń może być użyte w definicji iloczynu mieszanego[1].

Za pomocą symbolu Leviego-Civity iloczyn mieszany można określić wzorem (w konwencji sumacyjnej Einsteina)

Interpretacja geometrycznaEdytuj

 
Trzy wektory określające równoległościan z zaznaczonymi odpowiednimi iloczynami wektorowymi i mieszanymi.
Zobacz też: orientacjawyznacznik.

W dodatnio zorientowanym układzie współrzędnych iloczyn mieszany opisuje objętość równoległościanu rozpiętego przez dane trzy wektory. Jeśli orientacja przestrzeni nie jest narzucona, to wspomniana objętość również jest zorientowana w tym sensie, iż zależy ona od kolejności wektorów (parzystości ich permutacji). Zmiana orientacji powoduje zmianę znaku iloczynu, w związku z tym iloczyn mieszany nie jest skalarem, a raczej pseudoskalarem (iloczyn wektorowy jest pseudowektorem, a iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem, zaś iloczyn skalarny pseudowektora i wektora jest pseudoskalarem). Wynika stąd także, że zmiana kolejności wektorów w iloczynie wektorowym zmienia znak iloczynu mieszanego (iloczyn skalarny jest przemienny i nie wpływa na znak iloczynu mieszanego),

 

Iloczyn mieszany można traktować jako jeszcze jedno oznaczenie wyznacznika: iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy ich wyznacznikowi bądź wyznacznikowi macierzy stopnia 3 z wektorami zapisanymi w niej wierszowo bądź kolumnowo (transponowanie macierzy nie zmienia wyznacznika),

 

gdzie   wielkość ta jest niezmiennicza ze względu na obroty. Stąd iloczyn mieszany ma wszystkie własności wyznacznika, w tym wieloliniowość i alternacyjność; jest więc unormowaną formą objętości.

Wektory   są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn mieszany jest równy zeru, gdyż „równoległościan” przez nie wyznaczony jest wtedy płaski (zdegenerowany) i nie ma objętości. Ponadto

 

Zachodzi także następująca własność:

 

Iloczyn zewnętrznyEdytuj

 
Trójwektor jako forma objętości, czyli zorientowany element objętości; obiekt do niego dualny jest skalarem o wartości równej jego objętości.

W algebrach zewnętrznej i geometrycznej iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów jest dwuwektorem, czyli zorientowanym elementem płaszczyzny, podczas gdy iloczyn zewnętrzny trzech wektorów to trójwektor, czyli zorientowany element objętości; są to naturalne uogólnienia wektora jako zorientowanego elementu prostej. Dla danych wektorów   ich iloczyn zewnętrzny

 

jest trójwektorem, tzn. pseudoskalarem dualnym do iloczynu mieszanego, o wartości równej iloczynowi mieszanemu (nawiasy pominięto, ponieważ iloczyn zewnętrzny jest łączny, choć nie jest przemienny). Trójwektorowi   odpowiada równoległościan rozpięty przez wektory   gdzie dwuwektorom   odpowiadają równoległoboczne ściany równoległościanu.

PrzypisyEdytuj

  1. Iloczyn mieszany wektorów, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-30].