Algebra zewnętrzna

typ algebry nad ciałem

Iloczyn zewnętrzny – konstrukcja algebraiczna używana w geometrii do badania powierzchni, objętości i ich analogów w wyższych wymiarach. Iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów oraz oznacza się symbolem i nazywa się biwektorem; biwektor leży w przestrzeni zwanej zewnętrznym kwadratem, która jest przestrzenią inną niż oryginalna przestrzeń wektorowa. Wartość iloczynu jest równa powierzchni równoległoboku o bokach oraz W trzech wymiarach można ją obliczyć jako wartość iloczynu wektorowego wektorów oraz

Orientacja zdefiniowana przez uporządkowany zbiór wektorów.
Odwrotna orientacja odpowiadająca ujemnemu iloczynowi zewnętrznemu.
Interpretacja geometryczna iloczynu zewnętrznego elementów: Geometryczna interpretacja elementów stopnia n algebry zewnętrznej dla n=0 (pojedynczy punkt), 1 (zorientowany odcinek prostej), 2 (zorientowany element powierzchni), 3 (zorientowany element objętości). Iloczyn zewnętrzny n wektorów można zobrazować jako dowolny n-wymiarowy obiekt (e.g. n-równoległościan, n-elipsoida); wielkość n-wymiarowych obiektów jest równa wielkości ograniczonej ich brzegiem (np. długość odcinka, pole elementu powierzchni, objętość równoległościanu, hiperobjętość n-równoległościanu), a jej znak zależy od tego, czy jego orientacja jest zgodna czy przeciwna do przyjętej w przestrzeni orientacji.

Podobnie jak iloczyn wektorowy, iloczyn zewnętrzny jest antyprzemienny, tj. W odróżnieniu jednak od iloczynu wektorowego iloczyn zewnętrzny jest łączny, tj.

Biwektor można wyobrazić sobie jako rodzinę równoległoboków leżących w tej samej płaszczyźnie, mających tę samą powierzchnię i tę samą orientację – zgodną lub przeciwną do ruchu wskazówek zegara.

Z definicji wynika, że np.

jeżeli wektory są równoległe.

Przykład

edytuj

Pole elementu na płaszczyźnie

edytuj

(1) Płaszczyzna   jest przestrzenią wektorową 2-wymiarową, której bazę stanowi para wektorów

 

Niech dane będą dwa wektory  

 

które wyznaczają równoległobok, mający   oraz   jako boki. Powierzchnia tego równoległoboku dana jest wyrażeniem

 

(2) Obliczmy teraz iloczyn zewnętrzny wektorów   oraz  

 

– w pierwszym kroku wykorzystane zostało prawo rozdzielności iloczynu zewnętrznego, a ostatni etap używa faktu, że   (Wynika stąd np. że  ). Współczynnik w ostatnim wyrażeniu jest równy wyznacznikowi macierzy   Fakt, że może być on dodatni lub ujemny oznacza, że zależy on od kolejności mnożonych wektorów   oraz   która to kolejność może wyznaczać obrót zgodny ze wskazówkami zegara lub przeciwny. Taka powierzchnia nazywa się powierzchnią zorientowaną: wartość iloczynu jest równa wielkości powierzchni, zaś znak określa orientację.

Jeżeli   jest powierzchnią zorientowaną, rozpiętą przez wektory   oraz   to   ma następujące właściwości:

  1.   dla dowolnych liczb rzeczywistych   oraz   ponieważ przeskalowując boki zmieniamy wielkość równoległoboku, jak również orientację – gdy mnożymy wektor przez liczbę ujemną.
  2.   ponieważ powierzchnia zdegenerowanego równoległoboku jest równa 0.
  3.   ponieważ zmiana kolejności wektorów ma zmieniać znak.
  4.   dla dowolnych   ponieważ dodanie wielokrotności wektora   do   nie zmienia ani podstawy, ani wysokości równoległoboku – w efekcie zachowuje powierzchnię.
  5.   ponieważ wielkość jednostkowego kwadratu jest równa 1.

W pewnym sensie iloczyn zewnętrzny uogólnia pojęcie powierzchni, gdyż pozwala porównywać powierzchnie dowolnych elementów w przestrzeni np. z powierzchnią jednostkowego kwadratu. Innymi słowy:

Iloczyn zewnętrzny daje niezależne od układu współrzędnych pojęcie pola powierzchni oraz metodę jej obliczania.

Iloczyn zewnętrzny

edytuj

Iloczyn zewnętrzny jest działaniem służącym do tworzenia wielowektorów. Działanie to jest

  • liniowe:  
  • łączne:  
  • alternujące:  

gdzie     oraz   są wektorami w   zaś   to skalary.

Iloczyn   wektorów jest nazywany wielowektorem stopnia p lub p-wektorem. Maksymalny stopień wielowektorów jest równy wymiarowi przestrzeni wektorowej  

Liniowość iloczynu zewnętrznego pozwala definiować wielowektory jako kombinacje liniowe wielowektorów bazowych. Jest   p-wektorów    -wymiarowej przestrzeni wektorowej[1]

Wielowektor

edytuj

Wielowektor (zwany liczbą Clifforda) jest podstawowym elementem algebry zewnętrznej. Jeżeli   jest przestrzenią n-wymiarową, to k-wektorem nazywa się obiekt o postaci

 

gdzie   są wektorami w przestrzeni  

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. H. Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Academic Press, New York, NY, 1963.

Bibliografia

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj
  •   Exterior algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].