Otwórz menu główne

Forma różniczkowa

Forma różniczkowa (krótko k-forma) – rodzaj funkcji związanej z rachunkiem różniczkowym i całkowym na rozmaitościach. Podstawą rachunku form różniczkowych jest tzw. lemat Poincarego. Rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany w fizyce do całkowania pracy, strumieni pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzących przez powierzchnię, potencjałów pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.

W dalszej części artykułu niech będzie ustaloną liczbą naturalną (wymiarem przestrzeni dla której definiowane będą formy) oraz niech będzie ustalonym domkniętym (zwartym) przedziałem wielowymiarowym w przestrzeni

DefinicjaEdytuj

k-płatem klasy   (ang. singular cube of k dimensions) w zbiorze   nazywa się funkcję różniczkowalną   klasy     W przypadku, gdy   to za   przyjmuje się punkt w zbiorze   Wygodnie jest dokonywać utożsamienia   tzn. traktować   jako parę złożoną ze zbioru argumentów   oraz odwzorowania   klasy   pewnego otoczenia otwartego zbioru   (utożsamienie to nawiązuje do procesu parametryzacji krzywej na płaszczyźnie czy w przestrzeni).

Niech   będzie liczbą naturalną oraz   będą funkcjami klasy   zmiennej   W przypadku, gdy   zdefiniujemy

 

Ponadto, niech   będzie  -płatem w   Formą różniczkową (rzędu   albo k-formą) postaci

 

nazywa się funkcję   która płatowi   przyporządkowuje liczbę

 

gdzie   oznacza miarę Lebesgue’a w przestrzeni   oraz   Wzór   można przedstawić w niesłychanie przejrzysty sposób za pomocą konwencji sumacyjnej Einsteina:

 

Oznaczając krótko   gdzie   oraz   formy różniczkowe można zapisywać krótko w postaci

 

Liczbę   oznacza się krótko symbolem

 

i nazywa całką z formy   względem   W przypadku, gdy   całkę tę nazywa się po prostu całką krzywoliniową. Formy różniczkowe są funkcjami w zbiorze płatów, a więc można punktowo wprowadzić działania dodawania i mnożenia przez skalar form różniczkowych; innymi słowy rodzina form różniczkowych (przy ustalonych   i  ) tworzy przestrzeń liniową.

PrzykładEdytuj

Niech   będzie taką krzywą klasy   na płaszczyźnie, że

 

oraz niech dana będzie forma   Wówczas

 

Wartość całki krzywoliniowej w powyższym przypadku nie zależy od kształtu krzywej, a jedynie od jej punktów końcowych. W szczególności, całka po krzywej zamkniętej zeruje się.

Podstawowe własnościEdytuj

  • Wyrażenie   zmienia znak na przeciwny przy zamianie sąsiednich symboli   i  
  • Każdą formę różniczkową można sprowadzić do postaci kanonicznej, tzn. takiej postaci, że funkcje   są, być może, różne od zera tylko dla   Bezpośrednią konsekwencją tego faktu jest warunek równości dwu form – dwie formy różniczkowe są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie współczynniki w ich postaciach kanonicznych są równe. Ponadto, dla   każda forma   postaci jak wyżej jest równa zeru.

Iloczyn zewnętrzny form. Algebra zewnętrznaEdytuj

Jeżeli   i   są, odpowiednio,   i  -formami postaci

 

to można wprowadzić tzw. iloczyn zewnętrzny form   i   tzn.  -formę   daną wzorem

 

Iloczyn zewnętrzny ma następujące własności:

  •  
  •  
  • Jeżeli   jest  -formą,   jest  -formą, to
 

Niech symbol   oznacza zbiór wszystkich  -form na   klasy   oraz

 

Oczywiście   dla     jest domknięty na dodawanie i mnożenie przez skalary (tworzy przestrzeń liniową wymiaru  ). Ponadto, jest on domknięty na operację iloczynu zewnętrznego form wraz z którym tworzy algebrę, nazywaną algebrą zewnętrzną.

Różniczka zewnętrzna formyEdytuj

Jeżeli   jest  -formą klasy   na   tzn.   gdzie   jest funkcją klasy   na   to jej różniczką zewnętrzną (nazywaną również różniczką zupełną) nazywa się 1-formę postaci

 

Jeżeli natomiast   jest  -formą   postaci

 

to jej różniczką zewnętrzną nazywa się  -formę postaci

 

Na mocy powyższego, operator różniczkowania zewnętrznego form jest odwzorowaniem   Operacja ta ma ponadto, następujące własności:

  • jeżeli   jest  -formą,   jest  -formą, to
 
  • jeżeli   to  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj