Reguła łańcuchowa

metoda matematyczna

Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej.

Twierdzenie dla funkcji jednej zmiennejEdytuj

Niech   będą funkcjami zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

  •   ma w punkcie   pochodną   oraz
  •   ma w punkcie   pochodną  

to funkcja złożona   ma w punkcie   pochodną równą  

Innymi słowy:

 

Złożenie wielu funkcjiEdytuj

Jeśli funkcja   jest zdefiniowana jako

 

to jej pochodna   ma następującą postać:

 

Notacja LeibnizaEdytuj

W notacji Leibniza reguła łańcuchowa jest łatwa do zapamiętania, bo przypomina działania na zwykłych ułamkach. Jeżeli   to wprowadzając pomocniczą zmienną   na oznaczenie   mamy   i wówczas:

 

PrzykładyEdytuj

Przykład 1Edytuj

 

Pochodne obliczamy od zewnątrz: pochodną „cosinusa” jest „minus sinus” i stąd czynnik   jednak argument cosinusa jest funkcją   zatem wynik cząstkowy   mnożymy przez pochodną tej funkcji, czyli  

Przykład 2Edytuj

  

Jak wyżej, pochodne obliczamy od zewnątrz, a tu funkcją jest „podnoszenie zmiennej do kwadratu”. Jej pochodna to „dwa razy zmienna” i stąd   Jednak zmienna znów jest funkcją i otrzymany wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną:   Tę obliczamy tak: pochodną „sinusa” jest „cosinus” – stąd   jednak i tu zmienna jest funkcją i także ten wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną  

Powyższy przykład ilustruje jak wielokrotnie stosować regułę łańcuchową.

Przykład 3Edytuj

Przykład specjalny, pochodna funkcji   Zauważmy, że:

 

skąd

 

Twierdzenie dla funkcji dwóch zmiennychEdytuj

Niech   będą funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

  •   mają w punkcie   pochodne cząstkowe, oraz
  •   ma w punkcie   pochodne cząstkowe, gdzie  

to funkcja złożona   ma w punkcie   pochodne cząstkowe równe[1]

 
 

UogólnieniaEdytuj

Reguła łańcuchowa daje się uogólniać na wszystkie interesujące przypadki. Na przykład analogiczne twierdzenie można wypowiedzieć dla funkcji określonych między przestrzeniami unormowanymi. W szczególności, gdy funkcje działają między przestrzeniami   i   dla pewnych   naturalnych, to reguła łańcuchowa sprowadza się do mnożenia odpowiednich macierzy Jacobiego. W pełnej ogólności twierdzenie o różniczkowaniu złożenia można sformułować w następujący sposób:

Niech   będą przestrzeniami unormowanymi,   będą niepustymi, otwartymi podzbiorami oraz dane będą funkcje   że   Jeśli   jest różniczkowalna w punkcie   to złożenie   jest różniczkowalne w punkcie   oraz

 

PrzypisyEdytuj

  1. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Cz. 2.