Pochodna Frécheta

Pochodna Frécheta – uogólnienie pojęcia pochodnej dla funkcji między przestrzeniami unormowanymi (w szczególności między przestrzeniami Banacha) nad tym samym ciałem. Pojęcie pochodnej w sensie Frécheta pozwala formalnie zdefiniować pojęcie pochodnej funkcjonalnej, które jest szeroko wykorzystywana w rachunku wariacyjnym. Intuicyjnie, definicja pochodnej Frécheta oparta jest na idei aproksymacji liniowej, to znaczy przybliżania różniczkowanej funkcji przy pomocy prostszego przekształcenia liniowego. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Maurice’a Frécheta.

W analizie funkcjonalnej spotyka się również inną nazwę tego pojęcia – silna pochodna – będącej antonimem innej nazwy pochodnej Gâteaux, tzw. słabej pochodnej.

DefinicjaEdytuj

Niech   i   będą przestrzeniami unormowanymi,   będzie niepustym podzbiorem otwartym przestrzeni   Funkcję   nazywa się różniczkowalną w sensie Frécheta w punkcie   jeżeli istnieje taki ograniczony operator liniowy

 

że

 

W przypadku, gdy funkcja   jest różniczkowalna w danym punkcie, to operator liniowy   spełniający powyższy warunek jest wyznaczony jednoznacznie nazywa się różniczką Frécheta funkcji   w punkcie   i oznacza   Odwzorowanie   dane wzorem   we wszystkich punktach   w których   jest różniczkowalna, nazywa się pochodną Frécheta funkcji   gdzie   oznacza przestrzeń funkcyjną wszystkich ograniczonych operatorów liniowych  

Równoważnie, funkcja   jest różniczkowalna w punkcie   wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ograniczony operator liniowy   oraz funkcja   dla których

 

oraz

 

Funkcję   różniczkowalną w sensie Frécheta w dowolnym punkcie zbioru   i której pochodna   jest funkcją ciągłą w każdym punkcie zbioru   nazywa się funkcją różniczkowalną w sposób ciągły bądź funkcją klasy   Jeśli   jest funkcjonałem, to różniczkę   będącą funkcjonałem liniowym nazywa się czasem wariacją   w punkcie   i oznacza symbolem  

Otwartość dziedziny a różniczkowalnośćEdytuj

Założenie otwartości zbioru   w definicji jest konieczne ze względu na wymaganie jednoznaczności definicji różniczki. Istotność tego założenia można zobrazować następująco: zbiór

 

jest domkniętym podzbiorem przestrzeni   Gdyby funkcja   określona na płaszczyźnie, dana wzorem

 

była różniczkowalna punkcie   to wówczas

 

Punkty   i   należą do zbioru   tylko, gdy   co pociąga za sobą, iż pochodna   w punkcie   jest postaci   gdzie   jest dowolną liczbą rzeczywistą.

WłasnościEdytuj

Funkcja różniczkowalna w danym punkcie jest w nim ciągła. Implikacja odwrotna na ogół nie zachodzi.

Różniczkowanie jest operacją liniową w następującym sensie: jeśli   i   są dwoma przekształceniami   różniczkowalnymi w   zaś   i   są skalarami (dwiema liczbami rzeczywistymi bądź zespolonymi), to ich kombinacja liniowa   jest różniczkowalna w   przy czym jest ona równa odpowiedniej kombinacji liniowej pochodnych:

 

W kontekście tym poprawna jest również reguła łańcuchowa zwana również twierdzeniem o różniczkowaniu złożenia funkcji: jeśli   jest różniczkowalna w   należącym do   zaś   jest różniczkowalna w   to złożenie   jest różniczkowalne w   a jego pochodna jest złożeniem pochodnych:

 

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcjonału   w punkcie   jest   Otóż skoro   dla   to   dla dostatecznie małych   jest określony przez znak   Gdyby   to z liniowości   wynika, że dla małych   znak   może być zarówno dodatni, jak i ujemny, tzn. w sąsiedztwie   istnieją zarówno wartości mniejsze, jak i większe od   a więc   nie może osiągnąć ekstremum w tym punkcie.

Przestrzenie skończeniewymiaroweEdytuj

Przypadek jednowymiarowy
Zobacz też: pochodna.

Pojęcie pochodnej Frécheta jest uogólnieniem zwykłej pochodnej funkcji rzeczywistej. Ciągłe przekształcenia liniowe   są postaci   gdzie   jest liczbą rzeczywistą. W tym przypadku różniczka   pojawiająca się w definicji jest funkcją postaci

 

Wyrażenie

 

jest równoważne definicji różniczkowalności funkcji   tj.

 

gdzie   jest pochodną funkcji   w punkcie  

Przypadek wielowymiarowy
Zobacz też: macierz Jacobiego.

W przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie przekształcenia liniowe są ciągłe (zob. przekształcenie liniowe nieciągłe), więc pochodna Frécheta pokrywa się w tym przypadku z tradycyjnym pojęciem pochodnej funkcji wielu zmiennych. W szczególności, może być ona reprezentowana za pomocą macierzy Jacobiego.

Niech   będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze   przestrzeni   Jeśli   jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie   to jej pochodną jest przekształcenie

 

gdzie

 

przy czym   oznacza macierz Jacobiego funkcji   w punkcie  

Co więcej, pochodne cząstkowe   dane są wzorem

 

gdzie   oznacza bazę kanoniczną   zaś   Pochodna jest przekształceniem liniowym, więc dla wszystkich wektorów   pochodna kierunkowa   w kierunku   wyraża się wzorem

 

Związek ten jest ogólniejszej natury – zob. związek z pochodną Gâteaux.

Zachodzi również twierdzenie Schwarza mówiące, że jeśli wszystkie pochodne cząstkowe   istnieją i są ciągłe, to   jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: funkcja może być różniczkowalna w sensie Frécheta, jednak jej pochodne cząstkowe mogą nie być ciągłe.

Przykład zastosowaniaEdytuj

Metody rachunku różniczkowego umożliwiają dość sprawne wyznaczanie przybliżonych wartości skomplikowanych wyrażeń. Niech za przykład posłuży

 

Mając funkcję   daną wzorem

 

wystarczy zauważyć, iż zgodnie z powyższymi uwagami prawdziwy jest wzór

 

Podstawiając   oraz   uzyskuje się

  oraz  

Co ostatecznie daje

 

Związek z pochodną GâteauxEdytuj

Zobacz też: pochodna Gâteaux.

Jeśli   jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie   to jest ona w nim również różniczkowalna w sensie Gâteaux, a   jest po prostu operatorem liniowym   Nie każda funkcja różniczkowalna w sensie Gâteaux jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Przykładowo funkcja   o wartościach rzeczywistych określona wzorem

 

jest ciągłą i różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie   przy czym jej pochodną jest

 

Funkcja   nie jest operatorem liniowym, zatem funkcja   nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta.

Innym przykładem może być funkcja   dana wzorem

 

która jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie   a jej pochodna   dla wszystkich   jest operatorem liniowym. Mimo to   nie jest ciągła w   co można zaobserwować, zbiegając do początku układu wzdłuż krzywej   i dlatego   nie może być tam różniczkowalna w sensie Frécheta.

Subtelniejszym przykładem jest

 

która jest funkcją ciągłą, różniczkowalną w   przy czym jej pochodną jest   co raz jeszcze oznacza, że jest liniowa. Jednakże   nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta, ponieważ granica

 

nie istnieje.

Poniższy przykład zachodzi tylko w nieskończenie wielu wymiarach. Niech   będzie przestrzenią Banacha, a   będzie funkcjonałem liniowym na   który jest nieciągły w   (zob. przekształcenie liniowe nieciągłe). Niech

 

Wówczas   jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w   a jej pochodna jest równa   Mimo to   nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta, ponieważ granica

 

nie istnieje.

Jeśli   jest różniczkowalna w sensie Gâteaux na zbiorze otwartym   to   jest różniczkowalna w sensie Frécheta, gdy jej pochodna Gâteaux jest liniowa i ograniczona w każdym punkcie   oraz jest przekształceniem ciągłym  

Pochodne wyższego rzęduEdytuj

Jeśli   jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie podzbioru otwartego   zbioru   to jej pochodna

 

jest funkcją   o wartościach w przestrzeni   tzn. w przestrzeni wszystkich ograniczonych operatorów liniowych z   do   Funkcja ta również może mieć pochodną, nazywaną pochodną drugiego rzędu z funkcji   i oznaczaną przez   która, z definicji pochodnej, będzie przekształceniem

 

Często dokonuje się utożsamienia zbioru wartości funkcji   z przestrzenią   tzn. przestrzenią wszystkich ciągłych przekształceń dwuliniowych z   w   Dokładniej, element   przestrzeni   utożsamia się takim elementem   należącym do   że dla dowolnych   i   należących do   spełniony jest warunek

 

Intuicyjnie funkcja   liniowa względem   i   liniowa względem   jest tym samym, co funkcja dwuliniowa   względem   oraz  

Jeżeli funkcja

 

jest różniczkowalna, to jej pochodną nazwya się pochodną trzeciego rzędu funkcji f. Pochodna ta jest oczywiście przekształceniem trójliniowym itd. Pochodną  -tego rzędu (o ile istnieje) jest funkcja

 

przyjmująca wartości w przestrzeni Banacha ciągłych przekształceń n-liniowych określonych w   i o wartościach w   Indukcyjnie, funkcja   jest   razy różniczkowalna na   jeśli jest  -krotnie różniczkowalna w zbiorze   oraz dla każdego   z   istnieje takie ciągłe przekształcenie (n+1)-liniowe   że istnieje granica

 

oraz zbieżność ta jest jednostajna względem   na ograniczonych podzbiorach   Operator   nazywany jest wówczas pochodną (n+1)-rzędu funkcji   w punkcie  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj