Pochodna Gâteaux

Pochodna Gâteaux lub różniczka Gâteaux, czyt. ~ ˈɡa.tɔ ( odsłuchaj) – uogólnienie pojęcia pochodnej kierunkowej znanego z rachunku różniczkowego. Nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, René Gâteaux. Pochodną tę definiuje się w przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie wypukłych takich jak przestrzenie Banacha. Podobnie jak pochodna Frécheta, pochodna Gâteaux służy często sformalizowaniu pochodnej funkcjonalnej używanej powszechnie w rachunku wariacyjnym i fizyce.

W przeciwieństwie do innych rodzajów pochodnych, różniczka Gâteaux funkcji może być nieliniowa. Często w definicji różniczki Gâteaux wymaga się jednak, by była przekształceniem liniowym ciągłym. Niektórzy autorzy, np. Tikhomirov[1], odróżniają różniczkę Gâteaux (która może być nieliniowa) od pochodnej Gâteaux (o której zakładają, iż jest liniowa). W większości zastosowań ciągłość liniowa wynika z pierwotniejszego, a przy tym naturalnego w danej sytuacji warunku, np. założenie różniczkowalności zespolonej w kontekście nieskończeniewymiarowej holomorficzności czy różniczkowalności w sposób ciągły w analizie nieliniowej.

DefinicjaEdytuj

Niech   oraz   będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi lokalnie wypukłymi (np. przestrzeniami Banacha), dany zbiór otwarty   oraz funkcja   Różniczkę Gâteaux   funkcji   w punkcie   i kierunku   definiuje się jako

 

o ile granica ta istnieje. Jeżeli istnieje ona dla wszystkich   to mówi się, że   jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie  

Granicę w definicji wzięto w sensie topologii   Jeżeli   i  rzeczywistymi przestrzeniami liniowo-topologicznymi, to   w granicy są wartościami rzeczywistymi. Z drugiej strony, jeżeli przestrzenie te są zespolone, to w powyższej granicy przyjmuje się   na płaszczyźnie zespolonej, jak ma to miejsce w definicji różniczki zespolonej. W pewnych przypadkach zamiast mocnej granicy bierze się w zamian słabą granicę, co prowadzi do pojęcia słabej pochodnej Gâteaux.

Liniowość i ciągłośćEdytuj

W każdym punkcie   różniczka Gâteaux definiuje funkcję

 

Jest ona jednorodna w tym sensie, iż dla wszystkich skalarów   zachodzi równość

 

Funkcja ta nie musi być jednak addytywna, tak więc w przeciwieństwie do różniczki Frécheta różniczka Gâteaux może nie być liniowa. Nawet jeżeli będzie ona liniowa, to może nie zależeć w sposób ciągły od   co może mieć miejsce, gdy   oraz   są nieskończeniewymiarowe. Co więcej, istnieje kilka nierównoważnych sposobów określenia różniczkowalności w sposób ciągły tych różniczek Gâteaux, które liniowe i ciągłe w  

Niech dana będzie na przykład funkcja   dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych określona wzorem

 

Jest ona różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie   przy czym jej różniczką w tym punkcie jest

 

Wprawdzie jest ona ciągła, ale nie jest liniowa ze względu na argumenty   W przypadku nieskończeniewymiarowym dowolny funkcjonał liniowy nieciągły jest różniczkowalny w sensie Gâteaux; choć jego różniczka Gâteaux w   jest liniowa, to jednak nie jest ciągła.

Związek z pochodną Frécheta

Jeżeli   jest różniczkowalna w sensie Frécheta, to jest różniczkowalna także w sensie Gâteaux, przy czym pochodne te są równe. Sytuacja odwrotna w ogólności nie zachodzi, ponieważ pochodna Gâteaux może nie być liniowa lub ciągła. W rzeczywistości jest nawet możliwe, by pochodna Gâteaux była tak liniowa, jak i ciągła, ale pochodna Frécheta nie istniała.

Jednakże dla funkcji   z zespolonej przestrzeni Banacha   w inną zespoloną przestrzeń Banacha   pochodna Gâteaux (gdzie granica brana jest przy zespolonym parametrze   zbiegającym do zera jak to jest w definicji różniczkowalności zespolonej) jest koniecznie liniowa, o czym mówi twierdzenie Zorna[2]. Więcej, jeżeli   jest różniczkowalna w (zespolonym) sensie Gâteaux w każdym punkcie   gdzie pochodna dana jest wzorem

 

to   jest różniczkowalna w sensie Frécheta na   a jej różniczką Frécheta jest  [3]. Jest to odpowiednik wyniku elementarnej analizy zespolonej, mianowicie: funkcja jest analityczna, jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym na zbiorze otwartym; przy czym jest to podstawowym wynik holomorficzności nieskończeniewymiarowej.

Różniczkowalność w sposób ciągły

Różniczkowalność w sensie Gâteaux w sposób ciągły może być określona na dwa nierównoważne sposoby. Niech   będzie różniczkowalna w sensie Gâteaux w każdym punkcie zbioru otwartego   Jedno z podejść do różniczkowalności w sposób ciągły na   wymaga, aby odwzorowanie z przestrzeni produktowej

 

było ciągłe. Założenie liniowości jest zbędne: jeżeli   oraz  przestrzeniami Frécheta, to   jest automatycznie ograniczone i liniowe dla wszystkich  [4].

W mocniejszym z pojęć różniczkowalności w sposób ciągły wymaga się, aby

 

było odwzorowaniem ciągłym

 

z   w przestrzeń ciągłych funkcji liniowych z   w   Należy zauważyć, że czyni to zadość liniowości  

Ze względu na to, że drugie pojęcie jest dogodniejsze technicznie, to właśnie je zwykle (lecz nie zawsze) stosuje się w przypadku, gdy przestrzenie   i   są Banacha, ponieważ wtedy   również jest Banacha, co umożliwia posiłkowanie się metodami analizy funkcjonalnej. Pierwszą z definicji spotyka się częściej w tych obszarach analizy nieliniowej, w których rozpatrywane przestrzenie funkcyjne niekoniecznie są Banacha. Na przykład różniczkowanie w przestrzeniach Frécheta ma zastosowania takie jak twierdzenie Nasha-Mosera o funkcji odwrotnej, w którym rozważane przestrzenie funkcyjne często składają się z funkcji gładkich określonych na rozmaitości.

Pochodne wyższych rzędówEdytuj

Pochodne Frécheta wyższych rzędów definiuje się w sposób naturalny jako funkcje wieloliniowe ze względu na iterację przy pomocy izomorfizmów   Pochodnych Gâteaux wyższych rzędów nie można jednak definiować w ten sposób, w zamian pochodną Gâteaux  -tego rzędu funkcji   w kierunku   definiuje się jako

 

Choć funkcja ta nie jest ona wieloliniowa, to jest ona jednorodna stopnia   w punkcie  

Innym kandydatem na definicję pochodnej wyższego rzędu jest funkcja

 

która pojawia się w naturalny sposób w rachunku wariacyjnym jako druga wariacja funkcji   przynajmniej w przypadku szczególnym, gdy   ma wartości skalarne. Może ona jednak nie mieć żadnych rozsądnych własności poza jednorodnością oddzielnie ze względu na każdy z parametrów   oraz   Dogodne są wtedy dodatkowe warunki dostateczne zapewniające o tym, że   jest symetryczną funkcją dwuliniową zmiennych   i   oraz że zgadza się ona z polaryzacją  

Na przykład spełniony jest następujący warunek dostateczny[4]. Niech   będzie klasy   w sensie, iż odwzorowanie

 

jest ciągłe względem topologii produktowej i, co więcej, że druga pochodna określona powyższym wzorem jest również ciągła w tym sensie, iż odwzorowanie

 

jest ciągłe. Wówczas przekształcenie   jest dwuliniowe i symetryczne ze względu na   i   Tożsamość polaryzacyjna jest spełniona na mocy dwuliniowości:

 

wiążąc pochodną drugiego rzędu   z różniczką   Podobne wnioski są prawdziwe dla pochodnych wyższych rzędów.

WłasnościEdytuj

Dla funkcji   o której przyjmie się, iż jest dostatecznie różniczkowalna w sposób ciągły, zachodzi pewna wersja podstawowego twierdzenia rachunku całkowego; dokładniej:

Twierdzenie podstawowe

Niech   będzie klasy   w tym sensie, iż pochodna Gâteaux jest funkcją ciągłą   Wówczas dla dowolnych   oraz   jest

 

gdzie symbol całki oznacza całkę Gelfanda-Pettisa (słabą całkę).

Z powyższego wynika także wiele znanych, porządnych własności pochodnej – w tym wieloliniowość i przemienność pochodnych wyższego stopnia. Innymi własnościami, również wynikającymi z twierdzenia podstawowego, są:

Reguła łańcuchowa
 

dla dowolnych   oraz  

Twierdzenie Taylora z resztą

Niech odcinek między   a   zawiera się całkowicie w   Wówczas jeżeli   jest klasy   to

 

gdzie wyraz reszty dany jest jako

 

PrzykładyEdytuj

Niech   będzie przestrzenią Hilberta funkcji całkowalnych z kwadratem określonych na zbiorze mierzalnym w sensie Lebesgue’a   przestrzeni euklidesowej   Funkcjonał

 

dany wzorem

 

gdzie   jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych, przy czym   a   przyjmująca wartości rzeczywiste jest określona na   ma pochodną Gâteaux

 

Rzeczywiście,

 

Jeżeli   w powyższej równości, to pochodna Gâteaux

 

jest iloczynem wewnętrznym  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. hasło: „Gâteaux variation”. W: V.M. Tikhomirov: Encyclopaedia of Mathematics. Hazewinkel, Michiel: Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104.
  2. Max Zorn. Characterization of analytic functions in Banach spaces. „Annals of Mathematics. Second Series”. 46, s. 585–593, 1945. ISSN 0003-486X. MSN 0014190. 
  3. Max Zorn. Derivatives and Frechet differentials. „Bulletin of the American Mathematical Society”. 52 (2), s. 133–137, 1946. DOI: 10.1090/S0002-9904-1946-08524-9. MR 0014595. 
  4. a b Hamilton, R. S. The inverse function theorem of Nash and Moser. „Bull. AMS.”. 7 (1), s. 65–222, 1982. DOI: 10.1090/S0273-0979-1982-15004-2. MR 656198. 

BibliografiaEdytuj