Quasi-pochodna

Quasi-pochodna – jedno z uogólnień pochodnej funkcji między przestrzeniami Banacha. Quasi-pochodną można postrzegać jako silniejszą wersję pojęcia pochodnej Gâteaux, lecz z kolei słabsze niż pochodna Frécheta (w sensie opisanym niżej).

Definicja

Niech $f\colon A\to F$ będzie funkcją ciągłą ze zbioru otwartego $A$ z przestrzeni Banacha $E$ w inną przestrzeń Banacha $F.$ Quasi-pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_{0}\in A$ nazywa się przekształcenie liniowe $u\colon E\to F$ o następującej własności:

dla każdej funkcji ciągłej

g\colon [0,1]\to A,

przy czym

g(0)=x_{0},

takiej, że istnieje

g'(0)\in E

zachodzi

\lim _{t\to 0^{+}}~{\frac {f(g(t))-f(x_{0})}{t}}=u(g'(0)).

Jeżeli takie przekształcenie liniowe $u$ istnieje, to funkcję $f$ nazywa się quasi-różniczkowalną w punkcie $x_{0}.$

Własności

Założenie ciągłości $u$ jest zbędne, gdyż wynika z definicji. Jeżeli $f$ jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie $x_{0},$ to na mocy reguły łańcuchowej $f$ jest również quasi-różniczkowalna, a jej quasi-pochodna w punkcie $x_{0}$ jest równa pochodnej Frécheta w tym punkcie. Implikacja odwrotna zachodzi, o ile tylko $E$ jest skończonego wymiaru. Jeżeli $f$ jest quasi-różniczkowalna, to jest ona także różniczkowalna w sensie Gâteaux, a jej pochodna Gâteaux jest równa quasi-pochodnej tej funkcji.

Literatura

Dieudonné, J: Foundations of modern analysis. Academic Press, 1969.