Nieliniowość

Nieliniowość – cecha układu polegająca na tym, że wartość wyjściowa nie jest wprost proporcjonalna do danych wejściowych.

W algebrze liniowy operator lub funkcję opisuje się w następujący sposób:

  • addytywność,
  • homogeniczność,

W przypadku niespełnienia powyższych założeń mamy do czynienia z nieliniowością. W przyrodzie większość oddziaływań opisuje się właśnie funkcjami nieliniowymi. Modelowanie rzeczywistości polega jednak na wykorzystaniu jak najprostszych narzędzi matematycznych i często zdarza się opisywać zjawiska nieliniowe funkcjami liniowymi, jak na przykład prawo Hooke’a, gdzie pewien obszar dla stosunkowo małych naprężeń zachowuje się prawie liniowo.

LinearyzacjaEdytuj

Osobny artykuł: Linearyzacja.

Czasami, kiedy nieliniowość utrudnia rozwiązanie problemu, stosuje się linearyzację, czyli sprowadzenie modelu matematycznego do funkcji liniowych. Wykonuje się to na 2 sposoby: przez przybliżanie lub ucinanie członów nieliniowych.

Przykłady linearyzacjiEdytuj

  • Wahadło matematyczne opisujące ruch punktu materialnego zawieszonego na lince wyraża się równaniem różniczkowym:  ale gdy przyjmie się pewne przybliżenia, kiedy   dla   to ostatecznie otrzyma się dobrze znane równanie oscylatora:  
  • Rozwijając w szereg Taylora:   można zakończyć na członie liniowym i wtedy otrzyma się równanie:  

Nieliniowość w miarach zależnościEdytuj

Podstawową miarą zależności jest współczynnik korelacji liniowych, który określa miarę liniowych zależności między zmiennymi. W zagadnieniach analitycznych, np. w ekonomii pomija się często zależności nieliniowe i traktuje się jako zaniedbywane.

W przyrodzie bardzo często spotyka się przejawy wzajemnej zależności. Istnieje również wiele innych sposobów na uzależnienie elementów od siebie, które tworzą strukturę-sieć. Przykładem może być łańcuch pokarmowy, który umieszcza organizm w pewnym otoczeniu innych organizmów, z którymi oddziałuje w ten sposób, że może je zjadać, bądź być zjadanym. Badacz tego typu zjawisk musi wykazać się wielką wiedzą i pomysłowością, aby precyzyjnie opisywać nielinowe zależności. Może się on posłużyć takimi miarami jak np. miara manhattan, będącą sumą odległości między zmiennymi w  -wymiarowej przestrzeni. Aby odtworzyć hierarchię można narysować drzewo minimalnego zasięgu bądź graf z zaznaczonymi ścieżkami między obiektami. Przykładem może być socjogram pokazujący zależności między ludźmi w grupie.

W analizie szeregów czasowych przydają się dodatkowo narzędzia bazujące na fraktalności. Kryzys ekonomiczny roku 2007 spowodował, że zaniedbywane wcześniej przez ekonomistów modele nieliniowe zaczęły cieszyć się popularnością[1] (klasyczna ekonomia bazuje na liniowych zależnościach, za pomocą których nie da się przewidzieć ani opisać kryzysu na taką skalę, jaką był ten z 2007 r.).

PrzypisyEdytuj

  1. Andrzej Buda, Andrzej Jarynowski, Life-time of correlations and its applications, Wydawnictwo Niezależne, Wrocław 2010, http://th.if.uj.edu.pl/~gulakov/life_corr/.

BibliografiaEdytuj

  • J.D. Murray, Wprowadzenie do biomatematyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006.

Linki zewnętrzneEdytuj