Prawo Hooke’a

Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia[1]. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest proporcjonalne do tej siły[2]. Stosunek naprężenia wywołanego przyłożeniem siły do powstałego odkształcenia, jest nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Omawiana zależność pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke’a (zwanej też granicą proporcjonalności) i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke’a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej plastyczności i lepkości.

Ta prawidłowość została sformułowana przez Roberta Hooke’a w 1660 r. w formie ut tensio sic vis (łac. jakie wydłużenie, taka siła) i przekazana w postaci anagramu ceiiinosssttuv.

Osiowy stan naprężenia i odkształceniaEdytuj

 
Zależność obciążenia i naprężenia od odkształceń dla stali zwykłej z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke’a

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke’a jest rozciąganie statyczne pręta[3]. Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E

 

gdzie:

  – siła rozciągająca,
  – pole przekroju poprzecznego,
 moduł Younga,
  – wydłużenie pręta,
  – długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:

 

gdzie:

  – odkształcenie,
  – naprężenie.

Trójwymiarowy stan naprężenia i odkształceniaEdytuj

Prawo Hooke’a dla ogólnego, trójwymiarowego układu naprężeń w przypadku materiału izotropowego uogólnił w 1822 Augustin Louis Cauchy[2]. Może być zapisane w postaci układu równań:

dla odkształceń normalnych (liniowych)
 
 
 
dla odkształceń postaciowych (kątowych)
 
 
 

gdzie:

    – składowe odkształcenia normalnego w punkcie,
  – naprężenie normalne w punkcie,
  – składowe odkształcenia postaciowego w punkcie,
  – naprężenie styczne w punkcie,
  – współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa,
 moduł Younga,
 współczynnik Poissona.

Zapis tensorowyEdytuj

W ujęciu ogólnym (dla materiału anizotropowego) jako operator proporcjonalności stosuje się tensor sztywności  

 

lub tensor podatności  

 

gdzie sumowanie odbywa się wg. konwencji sumacyjnej Einsteina.

PrzypisyEdytuj

  1. Bielajew N.M., Wytrzymałość materiałów, Wyd. MON, Warszawa 1954
  2. a b Nawrot, Karolczak i Jaworska 2013 ↓, s. 187.
  3. Piechnik S., Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa-Kraków 1980

BibliografiaEdytuj

  • Alicja Nawrot, Dorota Karolczak, Jadwiga Jaworska: Encyklopedia – fizyka z astronomią. Kraków: GREG, 2013. ISBN 978-83-7517-210-2.