Otwórz menu główne

Spis treści

Pochodna kierunkowa – pochodna funkcji wielu zmiennych obliczona w kierunku dowolnego wektora jednostkowego Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia pochodnej cząstkowej na dowolne kierunki, przy czym pochodne cząstkowe są tożsame z pochodnymi w kierunkach wektorów jednostkowych bazy układu współrzędnych.

Definicja pochodnej kierunkowejEdytuj

 
Paraboloida, która jest wykresem funkcji   w czerwonym punkcie ma maksimum; w punkcie tym zerują się pochodne w dowolnym kierunku, co jest warunkiem koniecznym istnienia maksimum.

Niech dana będzie przestrzeń euklidesowa   i zawarty w niej podzbiór otwarty  

Pochodną kierunkową funkcji   wzdłuż wektora jednostkowego   w punkcie   nazywamy granicę

 

zakładając, że granica ta istnieje.

Związek pochodnej kierunkowej z gradientemEdytuj

 
Okręgi przedstawiają linie o stałych wartościach funkcji   Zielony wektor wskazuje gradient funkcji, wektor pomarańczowy   wskazuje kierunek, w którym liczy się pochodną kierunkową. Wektor gradientu jest dłuższy, gdyż wskazuje kierunek największej zmiany wartości funkcji.

Twierdzenie:

Jeżeli istnieje gradient funkcji   w punkcie   (co oznacza, że   jest różniczkowalna w  )

 

to pochodna kierunkowa funkcji   w kierunku wektora   jest równa iloczynowi skalarnemu gradientu funkcji   i wektora  

 

PrzykładEdytuj

(1) Niech będzie dana funkcja

 

(2) Gradient funkcji   wynosi

 

(3) Pochodna kierunkowa funkcji   w kierunku jednostkowego wektora   dana jest zależnością

 

czyli

 

TwierdzeniaEdytuj

Pochodna kierunkowa ma wiele własności identycznych jak zwykła pochodna. Wśród nich, dla funkcji   i   określonych w otoczeniu punktu   w którym funkcje te są różniczkowalne, słuszne są reguły:

(1) reguła sumy

 

(2) reguła stałej: dla dowolnej stałej   zachodzi

 

(3) reguła iloczynu (reguła Leibniza)

 

(4) reguła łańcuchowa: jeśli   jest różniczkowalna w   zaś   jest różniczkowalna w   to

 

Pochodna w kierunku wektora niejednostkowegoEdytuj

(1) Definicja pochodnej w kierunku niejednostkowego i niezerowego wektora   ma postać:

 

gdzie   – długość wektora  

(2) Twierdzenie

Gdy   jest różniczkowalna w punkcie   to

 

czyli pochodna ta jest identyczna jak dla wektora jednostkowego.

Uwaga:

Definicja pochodnej kierunkowej dla wektorów niejednostkowych jest niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne algebry różniczkowej tworzą przestrzeń liniową.

Pochodna kierunkowa pochodnej FréchetaEdytuj

Dla bardziej ogólnego przypadku pochodnej Frécheta   pochodną kierunkową wyznacza wzór:

 

Związek z pochodną cząstkowąEdytuj

Osobny artykuł: pochodna cząstkowa.

Jeśli   jest bazą standardową w   to pochodna kierunkowa funkcji   wzdłuż wektora dla   jest równa pochodnej cząstkowej względem zmiennej   tzn.

 

gdzie  

Rozmaitości różniczkoweEdytuj

Zobacz też: przestrzeń styczna.
 
Przestrzeń styczna   2-wymiarowa (tj. płaszczyzna) do 2-wymiarowej rozmaitości   (powierzchni) w punkcie   oraz wektor styczny   do krzywej   przechodzącej przez punkt  

Jeżeli:

(1)   jest funkcją określoną w otoczeniu punktu   rozmaitości różniczkowej   różniczkowalną w punkcie  

(2)   oznacza wektor styczny do rozmaitości   w punkcie  

(3) odwzorowanie   generuje krzywą różniczkowalną   taką że

  •   oraz
  •  

to pochodną kierunkową w punkcie   wzdłuż wektora   definiuje wzór

 

Tw. Dowodzi się, że pochodna ta nie zależy od wyboru krzywej  

Przestrzenie liniowo-topologiczneEdytuj

Osobny artykuł: pochodna Gâteaux.

Bezpośrednim uogólnieniem pochodnej kierunkowej na lokalnie wypukłe przestrzenie liniowo-topologiczne (w tym przestrzenie Banacha) jest tzw. pochodna Gâteaux.

Różne oznaczenia pochodnej kierunkowejEdytuj

Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, np.

 

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. I: Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna, Warszawa: PWN, 2009.