Pochodna zupełna

Pochodną zupełną funkcji wielu zmiennych zależnych od jednej zmiennej niezależnej nazywa się wyrażenie:

przy czym:

  • zmienne są tzw. zmiennymi zależnymi, bo są zależne zadanymi funkcjami od jednej zmiennej niezależnej tj.
  • pochodne cząstkowe względem
  • – pochodne zmiennych zależnych względem zmiennej niezależnej.

MotywacjaEdytuj

Załóżmy, że   jest funkcją dwóch zmiennych,   i   Zazwyczaj zmienne te traktuje się jako niezależne. Jednak w pewnych sytuacjach jedna zmienna może być zależna od drugiej. Np.   związane jest z   gdy ograniczamy dziedzinę funkcji do pewnej krzywej w   W tym wypadku zmiana wartości funkcji związana ze zmianą   wyraża się poprzez pochodną zupełną.

PrzykładEdytuj

(1) Niech będzie dana funkcja:

 

oraz załóżmy, że ograniczamy się do dziedziny, takiej że:

 

(2) Zmiana funkcji spowodowana zmianą zmiennej   jest dana za pomocą pochodnej cząstkowej:

 

Jednak ponieważ   zależy od   to zmiana   powoduje także zmianę   a tym samym zmianę funkcji.

(3) Podstawiając zależność   do funkcji, otrzyma się funkcję jednej zmiennej  

 

Obliczając pochodną funkcji   względem, otrzymamy:

 

(4) Zamiast tego można obliczyć pochodną zupełną funkcji  

 

(5) Widać stąd, że:

Aby obliczyć zmianę funkcji wielu zmiennych, takich że są one zależne od jednej zmiennej niezależnej, to można obliczyć pochodną zupełną – obliczanie pochodnej zupełnej pozwala pominąć etap podstawiania zależności funkcyjnych zmiennych zależnych od zmiennej niezależnej do wyrażenia na funkcję wielu zmiennych.

Różniczka zupełna funkcjiEdytuj

Mnożąc pierwsze równanie przez różniczkową zmianę zmiennej niezależnej   otrzyma się:

 

Wielkość   nazywa się różniczką zupełną funkcji   związaną z różniczkową zmianą   zmiennej niezależnej  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
  • I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, 1997. ISBN 83-01-11658-7.