Otwórz menu główne
Ten artykuł dotyczy nieskończenie małej zmiany zmiennej niezależnej. Zobacz też: różniczka funkcji.

Różniczka – tradycyjna nazwa nieskończenie małej zmiany danej zmiennej. Przykładowo, jeśli zmienna oznaczana jest literą to zmiana jej wartości często oznaczana jest lub, gdy zmiana powinna być mała, Różniczka reprezentuje podobną zmianę, lecz nieskończenie małą. Choć nie jest to precyzyjnie sformułowane matematycznie pojęcie, to jest ono niezmiernie użyteczne intuicyjnie; istnieje przy tym wiele sposobów formalizacji tego pojęcia.

Kluczową własnością różniczki jest to, że jeśli jest funkcją zmiennej tj. to różniczka funkcji jest związana z wzorem

gdzie oznacza pochodną względem Wzór ten podsumowuje intuicyjną ideę tego, że pochodna względem jest granicą ilorazu różnic gdy staje się nieskończenie małe.

Istnieje kilka możliwości formalizacji pojęcia różniczki:

Podejścia te bardzo się od siebie różnią, jednak dzielą ze sobą wspólną ideę ilościowości, tzn. nie mówi tylko, że różniczka jest nieskończenie mała, ale mówi jak mała ona jest.

Historia i wykorzystanieEdytuj

Nieskończenie małe wartości odgrywały istotną rolę w rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego. Wykorzystywane były już przez Archimedesa, choć on sam wątpił, czy ich użycie jest ściśle poprawne[5]. Bhāskara II opracował pojęcie różniczki reprezentującej nieskończenie małą zmianę[6], a Sharaf al-Dīn al-Tūsī używał ich do wyznaczania pochodnych wielomianów kwadratowych[7][8]. Isaac Newton nazywał je fluksjami. Stosowaną współcześnie nazwę różniczki na oznaczenie nieskończenie małej zmiany zmiennej wprowadził Leibniz, który upowszechnił także ich oznaczenia stosowane do dziś.

W notacji Leibniza dla zmiennej wartości   jej nieskończenie małą zmianę oznacza się w postaci dx. Jeśli zatem y jest funkcją x, to pochodną y po x oznacza się często   co może być także zapisane (w notacji Newtona lub Lagrange’a) oraz   Wykorzystanie różniczek w tej formie spotkało się z dużą krytyką, czego przykładem może być pamflet The Analyst biskupa Berkeley. Mimo to notacja ta dalej jest popularna, gdyż wskazuje, że pochodną funkcji   jest nachylenie jej wykresu w tym punkcie, czyli granica stosunku   inaczej mówiąc zmiana w y do zmiany w x, gdy zmiana w x staje się nieskończenie mała. Użycie różniczek jest także zgodne z analizą wymiarową, gdzie różniczka dx ma ten sam wymiar, co zmienna x.

Różniczki stosuje się także w zapisie całek, gdyż mogą być one postrzegane jako nieskończone sumy nieskończenie małych wartości: pole obszaru pod wykresem uzyskuje się przez jego podział na nieskończenie cienkie paski, a następnie ich zsumowanie. W wyrażeniu takim jak

 

znak całki (odpowiadający w istocie ręcznie pisanemu długiemu s) oznacza sumę nieskończoną, zaś różniczka dx ma oznaczać nieskończenie małe przyrosty x.

Różniczki jako przekształcenia linioweEdytuj

Istnieje prosty sposób formalizacji różniczek poprzez postrzeganie ich jako przekształcenia liniowe. Jednym ze sposobów wyjaśnienia tego punktu widzenia jest rozumienie zmiennej   w wyrażeniu w rodzaju   jako funkcji na prostej rzeczywistej, standardowej współrzędnej lub odwzorowania tożsamościowego, które przekształca liczbę rzeczywistą   w siebie, tzn.   wówczas   oznacza złożenie   funkcji   oraz   której wartością w punkcie   jest   Różniczka   jest wówczas funkcją określoną na prostej rzeczywistej, której wartość w   oznaczana zwykle   nie jest liczbą, lecz przekształceniem liniowym z   Ponieważ takie przekształcenia liniowe są dane za pomocą macierzy typu 1×1, to ma ona w istocie te same własności co liczba; jednak zmiana punktu widzenia pozwala na patrzenie na   jako na nieskończenie małą i porównanie jej ze standardową nieskończenie małą   która także jest przekształceniem tożsamościowym   czyli macierzą typu 1×1 o jednym elemencie. Postrzeganie odwzorowania liniowego jako nieskończenie małej może wydawać się wymyślne, jednak podejście to ma przynajmniej tę własność, iż jeśli   jest bardzo mały, to   również jest bardzo małe. Różniczka   ma tę samą własność, gdyż jest to tylko wielokrotność   którą z definicji jest pochodna   W ten sposób otrzymuje się, że   a stąd   W ten sposób zachowuje się ideę, iż   jest stosunkiem różniczek   oraz  

Byłaby to tylko sztuczka, gdyby nie fakt, iż:

  • ujmuje pomysł, że pochodna   w punkcie   jest najlepszym przybliżeniem liniowym   w punkcie  
  • ma wiele uogólnień.

Przykładowo, jeśli   jest funkcją   to mówi się, że jest ona różniczkowalna[9] w punkcie   gdy istnieje takie przekształcenie liniowe   przestrzeni   w   że dla każdego   istnieje otoczenie   punktu   że dla   zachodzi

 

Można teraz zastosować tę samą metodę, co w przypadku jednowymiarowym i pomyśleć o wyrażeniu   jako o złożeniu   ze współrzędnymi standardowymi   na   tak, że   jest  -tą składową   Wówczas różniczki

 

w punkcie   tworzą bazę przestrzeni liniowej przekształceń liniowych   i wtedy, jeśli   jest różniczkowalna w   można zapisać   jako kombinację liniową elementów bazowych:

 

Współczynniki   są (z definicji) pochodnymi cząstkowymi   w punkcie   względem   Stąd, jeżeli   jest różniczkowalna na całej przestrzeni   to można napisać zwięźlej:

 

W przypadku jednowymiarowym powyższa równość ma postać

 

jak wyżej.

Pomysł ten uogólnia się w jakobianie (i ogólniej pochodnej Frécheta) wprost na funkcje   Co więcej, definicja ta ma decydującą przewagę nad innymi definicjami pochodnej w tym, iż jest niezmiennicza ze względu na zmianę współrzędnych. Oznacza to, że w ten sam sposób można zdefiniować różniczkę odwzorowania gładkiego między rozmaitościami gładkimi.

Uwaga
Istnienie wszystkich pochodnych cząstkowych funkcji   w punkcie   jest warunkiem koniecznym istnienia różniczki w   nie jest to jednak warunek dostateczny; zob. kontrprzykłady w artykule pochodna Gâteaux.

Geometria algebraicznaEdytuj

W geometrii algebraicznej różniczki i inne pojęcia nieskończenie małej traktuje się dość dosłownie przyjmując, że pierścień współrzędnych lub snop struktury przestrzeni może zawierać elementy nilpotentne. Najprostszym przykładem jest pierścień liczb dualnych   gdzie  

Można to wytłumaczyć patrząc na pochodną funkcji   w następujący sposób. Należy zauważyć, że   gdzie   oznacza funkcję tożsamościową, należy do ideału   funkcji na   które znikają w   Jeśli pochodna   znika w   to   należy do kwadratu   tego ideału. Stąd pochodną   w punkcie   można ująć poprzez klasę równoważności   należącą do przestrzeni ilorazowej   zaś 1-strumień (ang. 1-jet) funkcji   (który zawiera informacje o jej wartości i pierwszej pochodnej) jest klasą równoważności   w przestrzeni wszystkich funkcji modulo   W geometrii algebraicznej wspomnianą klasę równoważności rozumie się jako zawężenie   do pogrubionej wersji punktu   którego pierścieniem współrzędnych nie jest   który jest przestrzenią ilorazową funkcji na   modulo   lecz   który jest przestrzenią ilorazową funkcji na   modulo   Wspomniany pogrubiony punkt jest prostym przykładem schematu[2].

Syntetyczna geometria różniczkowaEdytuj

Trzecie podejście do nieskończenie małych to metoda syntetycznej geometrii różniczkowej (ang. synthetic differential geometry)[10] lub gładkiej analizy nieskończenie małych (ang. smooth infinitesimal analysis)[11]. Ma ono bliski związek z podejściem geometrii algebraicznych, jednak tak wprowadzone nieskończenie małe są bardziej namacalne i intuicyjne. Główną ideą tego podejścia jest zastąpienie kategorii zbiorów inną kategorią zbiorów różniących się w sposób gładki, która jest toposem. W kategorii tej można zdefiniować liczby rzeczywiste, funkcje gładkie itd., ale liczby rzeczywiste automatycznie będą zawierać nilpotentne nieskończenie małe, a więc nie muszą być wprowadzane oddzielnie jak to było w podejściu poprzez geometrię algebraiczną. Jednakże logika nowej kategorii nie jest tożsama ze znaną logiką kategorii zbiorów: w szczególności nie zachodzi prawo wyłączonego środka. Oznacza to, że rozumowania teorii zbiorów rozszerzają się na gładką analizę nieskończenie małych, gdy są konstruktywne (tzn. nie wykorzystują dowodu przez sprzeczność). Niektórzy uważają tę wadę za korzyść, gdyż zmusza ona do poszukiwania i wykorzystywania w miarę możności dowodów konstruktywnych.

Analiza niestandardowaEdytuj

Ostatnie podejście do nieskończenie małych znów polega na rozszerzeniu liczb rzeczywistych, lecz w mniej drastyczny sposób. W podejściu analizy niestandardowej nie istnieją nilpotentne, lecz tylko odwracalne nieskończenie małe, które można postrzegać jako odwrotności liczb nieskończenie dużych[4]. Takie rozszerzenia liczb rzeczywistych można skonstruować jawnie poprzez klasy równoważności ciągów liczb wymiernych tak, by np. ciąg   oznaczał nieskończenie małą. Logika pierwszego rzędu tego nowego zbioru liczb hiperrzeczywistych jest tą samą logiką, którą wykorzystuje się dla zwykłych liczb rzeczywistych, jednak aksjomat zupełności (który wymaga logiki drugiego rzędu) nie jest spełniony. Mimo wszystko wystarcza to do zbudowania elementarnego i dość intuicyjnego podejścia do rachunku różniczkowego zawierającego nieskończenie małe.

ZapisEdytuj

W matematyce zazwyczaj znak różniczki   jest pisany kursywą, w fizyce zaś – pismem prostym. Zatem w tekście matematycznym pojawia się zazwyczaj   a w tekście fizycznym  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Darling, 1994.
  2. a b Eisenbud i Harris, 1998.
  3. Zob. Kock, 2006 oraz Moerdijk i Reyes, 1991.
  4. a b Zob. Robinson, 1996 oraz Keisler, 1986.
  5. Boyer, 1991.
  6. George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock, wyd. New ed, Princeton, N.J.: Princeton University Press, 2000, s. 298–300, ISBN 0-691-00659-8, OCLC 45031736.
  7. J. L. Berggren (1990), „Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi’s Muadalat”, Journal of the American Oriental Society 110 (2): 304-9.
  8. John J. O'Connor; Edmund F. Robertson: Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi w MacTutor History of Mathematics archive (ang.)
  9. Zob. np. Apostol, 1967.
  10. Zob. Kock, 2006 oraz Lawvere, 1968.
  11. Zob. Moerdijk i Reyes, 1991 oraz Bell, 1998.

BibliografiaEdytuj