Różniczka

Różniczka – tradycyjna nazwa nieskończenie małej zmiany danej zmiennej. Przykładowo, jeśli zmienna oznaczana jest literą $x,$ to zmiana jej wartości często oznaczana jest $\Delta x$ lub, gdy zmiana powinna być mała, $\delta x.$ Różniczka $\mathrm {d} x$ reprezentuje podobną zmianę, lecz nieskończenie małą. Jest to niezmiernie użyteczne intuicyjnie; istnieje przy tym wiele sposobów formalizacji tego pojęcia.

Kluczową własnością różniczki jest to, że jeśli $y$ jest funkcją zmiennej $x,$ tj. $y:=y(x),$ to różniczka $\mathrm {d} y$ funkcji $y$ jest związana z $\mathrm {d} x$ wzorem

$\mathrm {d} y={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x,$

gdzie ${\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ oznacza pochodną $y$ względem $x.$ Wzór ten podsumowuje intuicyjną ideę tego, że pochodna $y$ względem $x$ jest granicą ilorazu różnic ${\tfrac {\Delta y}{\Delta x}},$ gdy $\Delta x$ staje się nieskończenie małe.

Istnieje kilka możliwości formalizacji pojęcia różniczki:

• różniczki są przekształceniami liniowymi – podejście to leży u podstaw definicji pochodnej i pochodnej zewnętrznej w geometrii różniczkowej ;
• różniczki jako elementy nilpotentne pierścienia przemiennego – to podejście jest popularne w geometrii algebraicznej ;
• różniczki w gładkich modelach teorii mnogości – to podejście znane jest jako syntetyczna geometria różniczkowa (ang. synthetic differential geometry) bądź gładka analiza nieskończenie małych (ang. smooth infinitesimal analysis) i jest blisko związane z podejściem w geometrii algebraicznej z tym, że idee teorii toposów służą ukryciu mechanizmów wprowadzania nieskończenie małych nilpotentnych  ;
• różniczki jako nieskończenie małe w systemach liczb hiperrzeczywistych, które są rozszerzeniami liczb rzeczywistych zawierającymi odwracalne nieskończenie małe i nieskończenie wielkie liczby – jest to podejście spotykane w analizie niestandardowej, w którym pionierem był Abraham Robinson  .

Podejścia te bardzo się od siebie różnią, jednak dzielą ze sobą wspólną ideę ilościowości, tzn. nie mówi tylko, że różniczka jest nieskończenie mała, ale mówi jak mała ona jest.

Historia i wykorzystanie

Nieskończenie małe wartości odgrywały istotną rolę w rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego. Wykorzystywane były już przez Archimedesa, choć on sam wątpił, czy ich użycie jest ściśle poprawne . Bhāskara II opracował pojęcie różniczki reprezentującej nieskończenie małą zmianę, a Sharaf al-Dīn al-Tūsī używał ich do wyznaczania pochodnych wielomianów kwadratowych. Isaac Newton nazywał je fluksjami. Stosowaną współcześnie nazwę różniczki na oznaczenie nieskończenie małej zmiany zmiennej wprowadził Leibniz, który upowszechnił także ich oznaczenia stosowane do dziś.

W notacji Leibniza dla zmiennej wartości $x$ jej nieskończenie małą zmianę oznacza się w postaci dx. Jeśli zatem y jest funkcją x, to pochodną y po x oznacza się często ${\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},$ co może być także zapisane (w notacji Newtona lub Lagrange’a) ẏ oraz $y'(x).$ Wykorzystanie różniczek w tej formie spotkało się z dużą krytyką, czego przykładem może być pamflet The Analyst biskupa Berkeley. Mimo to notacja ta dalej jest popularna, gdyż wskazuje, że pochodną funkcji $y(x)$ jest nachylenie jej wykresu w tym punkcie, czyli granica stosunku ${\tfrac {\Delta y}{\Delta x}},$ inaczej mówiąc zmiana w y do zmiany w x, gdy zmiana w x staje się nieskończenie mała. Użycie różniczek jest także zgodne z analizą wymiarową, gdzie różniczka dx ma ten sam wymiar, co zmienna x.

Różniczki stosuje się także w zapisie całek, gdyż mogą być one postrzegane jako nieskończone sumy nieskończenie małych wartości: pole obszaru pod wykresem uzyskuje się przez jego podział na nieskończenie cienkie paski, a następnie ich zsumowanie. W wyrażeniu takim jak

$\int f(x)\,\mathrm {d} x,$

znak całki (odpowiadający w istocie ręcznie pisanemu długiemu s) oznacza sumę nieskończoną, zaś różniczka dx ma oznaczać nieskończenie małe przyrosty x.

Różniczki jako przekształcenia liniowe

Istnieje prosty sposób formalizacji różniczek poprzez postrzeganie ich jako przekształcenia liniowe. Jednym ze sposobów wyjaśnienia tego punktu widzenia jest rozumienie zmiennej $x$ w wyrażeniu w rodzaju $f(x)$ jako funkcji na prostej rzeczywistej, standardowej współrzędnej lub odwzorowania tożsamościowego, które przekształca liczbę rzeczywistą $p$ w siebie, tzn. $x(p)=p{:}$ wówczas $f(x)$ oznacza złożenie $f\circ x$ funkcji $f$ oraz $x,$ której wartością w punkcie $p$ jest $f{\big (}x(p){\big )}.$ Różniczka $\mathrm {d} f$ jest wówczas funkcją określoną na prostej rzeczywistej, której wartość w $p,$ oznaczana zwykle $\mathrm {d} f_{p},$ nie jest liczbą, lecz przekształceniem liniowym z $\mathbb {R} \to \mathbb {R} .$ Ponieważ takie przekształcenia liniowe są dane za pomocą macierzy typu 1×1, to ma ona w istocie te same własności co liczba; jednak zmiana punktu widzenia pozwala na patrzenie na $\mathrm {d} f_{p}$ jako na nieskończenie małą i porównanie jej ze standardową nieskończenie małą $\mathrm {d} x_{p},$ która także jest przekształceniem tożsamościowym $\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ czyli macierzą typu 1×1 o jednym elemencie. Postrzeganie odwzorowania liniowego jako nieskończenie małej może wydawać się wymyślne, jednak podejście to ma przynajmniej tę własność, iż jeśli $\varepsilon$ jest bardzo mały, to $\mathrm {d} x_{p}(\varepsilon )$ również jest bardzo małe. Różniczka $\mathrm {d} f_{p}$ ma tę samą własność, gdyż jest to tylko wielokrotność $\mathrm {d} x_{p},$ którą z definicji jest pochodna $f'(p).$ W ten sposób otrzymuje się, że $\mathrm {d} f_{p}=f'(p)\,\mathrm {d} x_{p},$ a stąd $\mathrm {d} f=f'\,\mathrm {d} x.$ W ten sposób zachowuje się ideę, iż $f'$ jest stosunkiem różniczek $\mathrm {d} f$ oraz $\mathrm {d} x.$

Byłaby to tylko sztuczka, gdyby nie fakt, iż:

• ujmuje pomysł, że pochodna $f$ w punkcie $p$ jest najlepszym przybliżeniem liniowym $f$ w punkcie $p;$
• ma wiele uogólnień.

Przykładowo, jeśli $f$ jest funkcją $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ to mówi się, że jest ona różniczkowalna  w punkcie $\mathrm {p} \in \mathbb {R} ^{n},$ gdy istnieje takie przekształcenie liniowe $\mathrm {d} f_{\mathrm {p} }$ przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ w $\mathbb {R} ,$ że dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje otoczenie $N_{\mathrm {p} }$ punktu $\mathrm {p} ,$ że dla $x\in N_{\mathrm {p} }$ zachodzi

${\big |}f(\mathrm {x} )-f(\mathrm {p} )-\mathrm {d} f_{\mathrm {p} }(\mathrm {x} -\mathrm {p} ){\big |}<\varepsilon |\mathrm {x} -\mathrm {p} |.$

Można teraz zastosować tę samą metodę, co w przypadku jednowymiarowym i pomyśleć o wyrażeniu $f(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})$ jako o złożeniu $f$ ze współrzędnymi standardowymi $(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})$ na $\mathbb {R} ^{n}$ tak, że $x^{j}(\mathrm {p} )$ jest $j$-tą składową $\mathrm {p} \in \mathbb {R} ^{n}.$ Wówczas różniczki

$(\mathrm {d} x^{1})_{\mathrm {p} },\;(\mathrm {d} x^{2})_{\mathrm {p} },\;\dots ,\;(\mathrm {d} x^{n})_{\mathrm {p} }$

w punkcie $\mathrm {p}$ tworzą bazę przestrzeni liniowej przekształceń liniowych $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ i wtedy, jeśli $f$ jest różniczkowalna w $\mathrm {p} ,$ można zapisać $\mathrm {d} f_{\mathrm {p} }$ jako kombinację liniową elementów bazowych:

$\mathrm {d} f_{\mathrm {p} }=\sum _{j=1}^{n}\operatorname {D} _{j}\!f(\mathrm {p} )\,(\mathrm {d} x^{j})_{\mathrm {p} }.$

Współczynniki $\operatorname {D} _{j}\!f(\mathrm {p} )$ są (z definicji) pochodnymi cząstkowymi $f$ w punkcie $\mathrm {p}$ względem $x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}.$ Stąd, jeżeli $f$ jest różniczkowalna na całej przestrzeni $\mathbb {R} ^{n},$ to można napisać zwięźlej:

$\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{1}}}\,\mathrm {d} x^{1}+{\frac {\partial f}{\partial x^{2}}}\,\mathrm {d} x^{2}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x^{n}}}\,\mathrm {d} x^{n}.$

W przypadku jednowymiarowym powyższa równość ma postać

$\mathrm {d} f={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x$

jak wyżej.

Pomysł ten uogólnia się w jakobianie (i ogólniej pochodnej Frécheta) wprost na funkcje $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}.$ Co więcej, definicja ta ma decydującą przewagę nad innymi definicjami pochodnej w tym, iż jest niezmiennicza ze względu na zmianę współrzędnych. Oznacza to, że w ten sam sposób można zdefiniować różniczkę odwzorowania gładkiego między rozmaitościami gładkimi.

Uwaga

Istnienie wszystkich pochodnych cząstkowych funkcji $f(x)$ w punkcie $x$ jest warunkiem koniecznym istnienia różniczki w $x,$ nie jest to jednak warunek dostateczny; zob. kontrprzykłady w artykule pochodna Gâteaux.

Geometria algebraiczna

W geometrii algebraicznej różniczki i inne pojęcia nieskończenie małej traktuje się dość dosłownie przyjmując, że pierścień współrzędnych lub snop struktury przestrzeni może zawierać elementy nilpotentne. Najprostszym przykładem jest pierścień liczb dualnych $\mathbb {R} [\varepsilon ],$ gdzie $\varepsilon ^{2}=0.$

Można to wytłumaczyć patrząc na pochodną funkcji $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ w następujący sposób. Należy zauważyć, że $f-f(p)\operatorname {id} ,$ gdzie $\operatorname {id}$ oznacza funkcję tożsamościową, należy do ideału $I_{p}$ funkcji na $\mathbb {R} ,$ które znikają w $p.$ Jeśli pochodna $f$ znika w $p,$ to $f-f(p)\operatorname {id}$ należy do kwadratu $I_{p}^{2}$ tego ideału. Stąd pochodną $f$ w punkcie $p$ można ująć poprzez klasę równoważności ${\big [}f-f(p)\operatorname {id} {\big ]}$ należącą do przestrzeni ilorazowej $I_{p}/I_{p}^{2},$ zaś 1-strumień (ang. 1-jet) funkcji $f$ (który zawiera informacje o jej wartości i pierwszej pochodnej) jest klasą równoważności $f$ w przestrzeni wszystkich funkcji modulo $I_{p}^{2}.$ W geometrii algebraicznej wspomnianą klasę równoważności rozumie się jako zawężenie $f$ do pogrubionej wersji punktu $p,$ którego pierścieniem współrzędnych nie jest $\mathbb {R} ,$ który jest przestrzenią ilorazową funkcji na $\mathbb {R}$ modulo $I_{p},$ lecz $\mathbb {R} [\varepsilon ],$ który jest przestrzenią ilorazową funkcji na $\mathbb {R}$ modulo $I_{p}^{2}.$ Wspomniany pogrubiony punkt jest prostym przykładem schematu ;.

Syntetyczna geometria różniczkowa

Trzecie podejście do nieskończenie małych to metoda syntetycznej geometrii różniczkowej (ang. synthetic differential geometry)   lub gładkiej analizy nieskończenie małych (ang. smooth infinitesimal analysis)  . Ma ono bliski związek z podejściem geometrii algebraicznych, jednak tak wprowadzone nieskończenie małe są bardziej namacalne i intuicyjne. Główną ideą tego podejścia jest zastąpienie kategorii zbiorów inną kategorią zbiorów różniących się w sposób gładki, która jest toposem. W kategorii tej można zdefiniować liczby rzeczywiste, funkcje gładkie itd., ale liczby rzeczywiste automatycznie będą zawierać nilpotentne nieskończenie małe, a więc nie muszą być wprowadzane oddzielnie jak to było w podejściu poprzez geometrię algebraiczną. Jednakże logika nowej kategorii nie jest tożsama ze znaną logiką kategorii zbiorów: w szczególności nie zachodzi prawo wyłączonego środka. Oznacza to, że rozumowania teorii zbiorów rozszerzają się na gładką analizę nieskończenie małych, gdy są konstruktywne (tzn. nie wykorzystują dowodu przez sprzeczność). Niektórzy uważają tę wadę za korzyść, gdyż zmusza ona do poszukiwania i wykorzystywania w miarę możności dowodów konstruktywnych.

Analiza niestandardowa

Ostatnie podejście do nieskończenie małych znów polega na rozszerzeniu liczb rzeczywistych, lecz w mniej drastyczny sposób. W podejściu analizy niestandardowej nie istnieją nilpotentne, lecz tylko odwracalne nieskończenie małe, które można postrzegać jako odwrotności liczb nieskończenie dużych  . Takie rozszerzenia liczb rzeczywistych można skonstruować jawnie poprzez klasy równoważności ciągów liczb wymiernych tak, by np. ciąg $(1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots ,{\tfrac {1}{n}},\dots )$ oznaczał nieskończenie małą. Logika pierwszego rzędu tego nowego zbioru liczb hiperrzeczywistych jest tą samą logiką, którą wykorzystuje się dla zwykłych liczb rzeczywistych, jednak aksjomat zupełności (który wymaga logiki drugiego rzędu) nie jest spełniony. Mimo wszystko wystarcza to do zbudowania elementarnego i dość intuicyjnego podejścia do rachunku różniczkowego zawierającego nieskończenie małe.

Zapis

W matematyce zazwyczaj znak różniczki $d$ jest pisany kursywą, w fizyce zaś – pismem prostym. Zatem w tekście matematycznym pojawia się zazwyczaj ${\tfrac {dy}{dx}},$ a w tekście fizycznym ${\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}.$

Zobacz też

• forma różniczkowa
• pochodna
• pochodna zupełna
• rachunek nieskończenie małych
• równanie różniczkowe
• różniczka funkcji
• różniczka zupełna

Bibliografia

• Tom M. Apostol: Calculus. Wyd. II. Wiley, 1967. ISBN 0-471-00005-1 oraz ISBN 0-471-00007-8.
• John L. Bell: Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis. 1998.
• Archimedes of Syracuse. W: Carl B. Boyer: A History of Mathematics. Wyd. II. John Wiley & Sons, Inc., 1991. ISBN 0-471-54397-7.
• R.W.R. Darling: Differential forms and connections. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1994. ISBN 0-521-46800-0.
• David Eisenbud, Joe Harris: The Geometry of Schemes. Springer-Verlag, 1998. ISBN 0-387-98637-5.
• Howard J. Keisler: Elementary calculus: An Approach Using Infinitesimals. Wyd. II. 1986.
• Anders Kock: Synthetic Differential Geometry. Wyd. II. Cambridge University Press, 2006.
• F.W. Lawvere: Outline of synthetic differential geometry. 1998.
• I. Moerdijk, G.E. Reyes: Models for Smooth Infinitesimal Analysis. Springer-Verlag, 1991.
• Abraham Robinson: Non-standard analysis. Princeton University Press, 1996. ISBN 978-0-691-04490-3.