Otwórz menu główne

Granica funkcji

pojęcie matematyczne

Granica funkcji – wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy’ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

1 0,841471
2 0,958851
...
10 0,998334
...
100 0,999983

Dodatnia liczba całkowita staje się coraz większa, wartość staje się coraz bliższa Mówimy, że granica jest równa

HistoriaEdytuj

Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności. Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania, która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona, np. Lebesgue’a). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes”, pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia.

Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass.

Granica w punkcieEdytuj

Funkcja   określona na zbiorze   ma w punkcie skupienia   tego zbioru granicę równą   jeżeli spełniony jest jeden z równoważnych warunków

1. definicja Heinego:

dla każdego ciągu   takiego, że dla dowolnego   oraz   ciąg wartości funkcji   dąży do   gdy  

2. definicja Cauchy’ego:

 
co czytamy następująco: dla każdej liczby   istnieje liczba   taka, że dla każdego   z nierówności   wynika nierówność  

3. definicja przez ciągłość[1]:   jest taką wartością, którą należy nadać funkcji   w punkcie   by była w tym punkcie ciągła:

  jest ciągła w   (Ta definicja stosuje się do wszystkich funkcji, nie tylko liczbowo-liczbowych.)

Warunek   w definicji Cauchy’ego oznacza, że nie testujemy   W definicji przez ciągłość pojawia się w to miejsce warunek   który jest oczywiście spełniony, bo  

Jeżeli istnieje granica funkcji   w punkcie   i jest równa   to piszemy

   

i czytamy „  dąży do   gdy   dąży do  [1]

lub równoważnie

 

co czytamy: „limes   przy   dążącym do   równa się  ”.

 
  Dlatego granica jako   nie istnieje.

Nieistnienie granicy funkcji to nie to samo, co „granica funkcji jest równa 0”. Jeśli liczba   spełnia definicję granicy, to granica istnieje (i jest równa 0), natomiast może być tak, że żadna liczba   (nawet 0) nie spełnia definicji granicy, i wtedy granica nie istnieje.

Granica jednostronnaEdytuj

Zobacz też: Granica jednostronna.

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami (w opozycji do ukazanej w tej sekcji) obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji).

Liczba   jest granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji   w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia   dziedziny, co zapisuje się

  przy   (odpowiednio:   przy  )

lub

  (odpowiednio:  ),

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego
dla każdego ciągu   takiego, że dla dowolnego   (odpowiednio:  )   oraz  
ciąg wartości funkcji   dąży do   przy  
definicja Cauchy’ego
  (odpowiednio:  ).

Granica niewłaściwaEdytuj

Funkcja   ma w punkcie   granicę niewłaściwą   co zapisuje się

  przy  

lub

 

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego
dla każdego ciągu   takiego, że   oraz   ciąg wartości funkcji   dąży do   przy  
definicja Cauchy’ego
 

Analogicznie definiuje się i oznacza się granicę niewłaściwą   trzeba tylko wszędzie zamienić   na   a definicję Cauchy’ego zapisać tak:

 

Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.

Granica w nieskończonościEdytuj

 
Granica tej funkcji w nieskończoności istnieje

Funkcja   określona dla wszystkich   (odpowiednio:  ) ma granicę   w plus (odpowiednio: minus) nieskończoności, co zapisuje się

  przy   (odpowiednio:  )

lub

  (odpowiednio:  ),

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego
dla każdego ciągu   takiego, że dla każdego   oraz   (odpowiednio: dla każdego   oraz  ),
ciąg wartości funkcji   dąży do   przy  
definicja Cauchy’ego
 
Asymptota pozioma  

  (odpowiednio  ).

Granica niewłaściwa w nieskończonościEdytuj

Funkcja   określona na przedziale   ma w nieskończoności granicę niewłaściwą   co zapisuje się

  przy  

lub

 

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego
dla każdego ciągu   takiego, że dla każdego   oraz   ciąg wartości funkcji   dąży do   przy  
definicja Cauchy’ego
 

Analogicznie definiuje się:

  • granicę niewłaściwą   funkcji w  
  • granicę niewłaściwą   funkcji w  
  • granicę niewłaściwą   funkcji w  

WłasnościEdytuj

  • Jeśli funkcje   i   określone na zbiorze   mają granice właściwe   i   to:
    •  
    •  
    •   gdy   oraz  

Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.

    • Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że   nie oznacza, że istnieją granice   czy   W podanym przykładzie granica   nie istnieje, natomiast  
  • Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.
Jeśli funkcja   ma w punkcie   granicę   funkcja   ma w punkcie   granicę   przy czym   i   są odpowiednio punktami skupienia zbiorów   oraz   przy czym   dla każdego   z pewnego sąsiedztwa punktu   to  

Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności:

  •  
  •   oraz   w pewnym sąsiedztwie  
  •   oraz  
  •   oraz  
  •   oraz   w pewnym sąsiedztwie  
  •   oraz   w pewnym sąsiedztwie  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b Witold Kleiner, Analiza matematyczna, t. 1, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986, ​ISBN 83-01-06460-7​, s. 103.

BibliografiaEdytuj