Otwórz menu główne

Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych

Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych: (a) rozszerzenie dwupunktowe (afiniczne), (b) rozszerzenie jednopunktowe (rzutowe); kolorem czerwonym określono liczby dodatnie, niebieskim – ujemne, żółtym – dodane „punkty nieskończone”

Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych – zbiór liczb rzeczywistych z dołączonym jednym lub dwoma „elementami nieskończonymi”, pierwsze z tych rozszerzeń nazywane jest jednopunktowym bądź rzutowym, drugie z kolei dwupunktowym lub afinicznym.

Rozszerzony na jeden ze wspomnianych sposobów zbiór liczb rzeczywistych staje się zwartą przestrzenią topologiczną (rozszerzenia dają różne topologie), co znajduje zastosowanie przede wszystkim w analizie matematycznej i teorii miary. Przede wszystkim pozwala na rozszerzenie niektórych funkcji na cały zbiór liczb rzeczywistych, przy czym niektóre z nich, dotąd nieciągłe, mogą być wtedy uważane za ciągłe (zob. niżej) oraz co ułatwia spójne traktowanie różnych przypadków, upraszczając w ten sposób sformułowania twierdzeń i dowodów. Niepełnemu rozszerzeniu podlegają również niektóre działania (operacje) na „elementy nieskończone” – niepełnemu, gdyż dołączane elementy nie mogą być uważane za liczby, a rozszerzone zbiory liczb rzeczywistych nie są ciałami liczbowymi.

Rozszerzenie afiniczneEdytuj

Zbiór liczb rzeczywistych   rozszerzony o dwa „punkty nieskończone”   i   oznacza się zwykle symbolami   lub   i nazywa rozszerzeniem dwupunktowym bądź afinicznym liczb rzeczywistych (prostej rzeczywistej). Niżej symbol   będzie oznaczał dowolne z wyrażeń   bądź   w szczególności w tejże kolejności, gdy stosowany jest symbol   w którym kolejność symboli jest odwrotna (wykorzystane razem symbole te powinny być wtedy uważane za różnych znaków). Często dla skrócenia zapisu symbol   zastępuje się symbolem   należy jednak zaznaczyć, iż różni się on istotnie od symbolu   opisanego dalej. Rozszerzenie afiniczne prostej nie jest przestrzenią afiniczną.

Rozszerzony afinicznie zbiór liczb rzeczywistych jest podstawą implementacji komputerowych systemów przekształcania wyrażeń i obliczeń symbolicznych.

Porządek i topologiaEdytuj

W zbiorze   zachowana zostaje relacja porządku liniowego, a dla dowolnego elementu   zachodzi   Ponadto każdy podzbiór tego zbioru, w przeciwieństwie do   ma kres dolny i górny, co sprawia, że rozszerzony afinicznie zbiór liczb rzeczywistych staje się kratą zupełną.

Topologia wprowadzona przez relacje porządkującą   w zbiorze   pozwala w szczególności na określenie otoczeń punktów w nieskończoności:

zbiór   jest otoczeniem punktu   wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on zbiór   dla pewnej liczby  

Analogicznie

zbiór   nazywa się otoczeniem punktu   wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on zbiór   dla pewnej liczby  

Wspomniana topologia sprawia, że   jest zwartą przestrzenią Hausdorffa homeomorficzną z domkniętym przedziałem jednostkowym   Wspomniana przestrzeń jest metryzowalna.

Działania arytmetyczneEdytuj

Działania arytmetyczne w zbiorze   rozszerza się w następujący sposób:

 
 
  dla  
  dla  
  dla  
  dla  
  dla  
  dla  

Uzasadnieniem tych definicji są odpowiednie przejścia graniczne. Wyrażenia   oraz   pozostają niezdefiniowane, podobnie jak   i   (patrz symbol nieoznaczony), choć dwa ostatnie wyrażenia w teorii miary (oraz korzystającej z niej teorii prawdopodobieństwa) definiowane są jako równe 0.

Prawdziwe pozostają prawa działań arytmetycznych, pod warunkiem jednak, że wszystkie występujące w nich wyrażenia są określone. To ostatnie zastrzeżenie sprawia, że zbiór   nie jest ciałem ani nawet pierścieniem.

Funkcje, granice, ciągłośćEdytuj

Na zbiór   można rozszerzyć wiele funkcji. Przykładem może być funkcję potęgową   gdzie korzystając z odpowiednich granic, przyjmuje się następujące definicje:

 

W podobny sposób można rozszerzać wiele innych funkcji (zwykle nawet do funkcji ciągłych), np. funkcję wykładniczą   logarytmiczną   czy tangens   itp., co upraszcza dowody wielu twierdzeń i stanowi główną motywację dla rozpatrywania rozszerzeń zbioru liczb rzeczywistych.

Rozszerzenie rzutoweEdytuj

 
Rzeczywista prosta rzutowa może być postrzegana jako prosta, której „końce” łączą się w nieskończoności, tworząc okrąg.

Zbiór liczb rzeczywistych z dodanym jednym „punktem w nieskończoności”   (bez znaku) nazywane jest rozszerzeniem jednopunktowym bądź rzutowym liczb rzeczywistych (prostej rzeczywistej) i oznaczane jest najczęściej symbolem   Uzwarcenie to jest minimalne i nosi ono nazwę uzwarcenia Aleksandrowa. Rozszerzenie to jest prostą rzutową (jednowymiarową przestrzenią rzutową), gdyż jego punkty są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z jednowymiarowymi podprzestrzeniami liniowymi płaszczyzny   z tego powodu konstrukcję tę nazywa się też rzeczywistą prostą rzutową i oznacza  

Symbol   reprezentuje „punkt w nieskończoności”, w którym zbiegają się oba „końce” rzeczywistej osi liczbowej. Analogiem zespolonym tego rozszerzenia jest konstrukcja sfery Riemanna rozszerzającej zbiór liczb zespolonych przez uzupełnienie jej pojedynczym punktem w nieskończoności, którą nazywa się również zespoloną prostą rzutową i oznacza  

GeometriaEdytuj

Oprócz faktu, iż   jest pełnoprawnym punktem tej przestrzeni, kluczową ideą rzeczywistej prostej rzutowej jest to, że jest ona przestrzenią jednorodną homeomorficzną z okręgiem. Przykładowo ogólna grupa liniowa odwracalnych macierzy typu 2×2 działa na niej przechodnio. Działanie grupy można opisać również za pomocą przekształceń Möbiusa, w których argumenty zerujące się w mianowniku przyjmują w obrazie  

Dokładniejsze przyjrzenie się temu działaniu pokazuje, że dla dowolnych trzech punktów   istnieje przekształcenie homograficzne odwzorowujące te punkty odpowiednio na   Obserwacji tej nie można rozszerzyć na czwórki punktów z powodu niezmienniczości dwustosunku.

Porządek i topologiaEdytuj

Zbiór   jest homeomorficzny z okręgiem (por. rysunek), dlatego niemożliwe jest rozszerzenie relacji porządku na cały zbiór   tzn. dla dowolnego   nie można powiedzieć ani, że   ani też że   Jednak relacja porządku   w zbiorze   jest stosowana w niektórych definicjach obiektów w zbiorze  

Pojęcie przedziału można rozszerzyć na zbiór   jednak ponieważ relacja porządku nie obejmuje punktu   to przedziały muszą być zdefiniowane w nieco inny sposób niż w zbiorze liczb rzeczywistych   Dla dowolnych   przy czym   przyjmuje się następujące definicje przedziałów domkniętych:

 
 
 
 
 
 

Analogicznie definiuje się przedziały otwartych i półotwartych. Na przedziałach można także określić operacje arytmetyczne – w szczególności dla każdych dwóch punktów   można przyjąć

 

nawet wtedy, gdy przedziały zawierają 0.

Przedziały otwarte stanowią bazę topologii zbioru   W topologii tej zbiór   jest przestrzenią zwartą, homeomorficzną z okręgiem. Jest to zatem przestrzeń metryzowalna, a odpowiednie metryki odpowiadają metrykom okręgu. Nie istnieje w   taka metryka, która byłaby rozszerzeniem standardowej metryki zbioru   tzn. metryki euklidesowej.

Działania arytmetyczneEdytuj

Rozszerzenie operacji arytmetycznych na cały zbiór   można przeprowadzić tylko dla niektórych z nich – są one umotywowane odpowiednimi własnościami granic funkcji rzeczywistych:

 
  dla  
  dla  
  dla  
  dla  

Należy zaznaczyć, że ostatnia operacja jest nieokreślona w zbiorze  

Działania   oraz   są w zbiorze   nieokreślone. Prawa działań arytmetycznych pozostają prawdziwe w zbiorze   o ile wszystkie występujące w nich wyrażenia są określone.

Funkcje, granice, ciągłośćEdytuj

Opierając się na rozszerzonych w opisany wyżej sposób definicjach przedziałów, można określić pojęcia granicy i ciągłości funkcji na całym zbiorze  

W zbiorze   funkcje wykładnicza   i logarytmiczna   są nieciągłe w punkcie   natomiast można wykazać, że funkcje wymierne   gdzie   i  funkcjami wielomianowymi niemającymi wspólnego czynnika, są ciągłe w zbiorze   w szczególności ciągła jest funkcja homograficzna   podobnie ciągła jest funkcja tangensa   jeżeli przyjąć definicję:

 

PorównanieEdytuj

Funkcja homograficzna   nie jest ciągła w zbiorze   gdyż jej wartości dążą do   dla   podczas gdy   to dążą one do   Utożsamiając w zbiorze   symbole   oraz   uzyskuje się zbiór   W ten sposób funkcja   może być uznana za ciągłą w całym zbiorze   Podobna sytuacja dotyczy wszystkich funkcji wymiernych. Z drugiej strony wyrażenia

 

oraz

 

w zbiorze   są w istocie jedynie granicami jednostronnymi, zaś granica funkcji   w punkcie   istnieje tylko wtedy, gdy   W zbiorze   każde z nich musi być uważane za granicę rozważaną w innym punkcie. Z tego powodu funkcje takie, jak   czy   można uznać za funkcje ciągłe na całym zbiorze   nie można ich natomiast określić w sposób ciągły na całym zbiorze  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj