Otwórz menu główne

Funkcja homograficzna

rodzaj funkcji wymiernej

Funkcja homograficzna (homografia) – funkcja wymierna, na ogół określana w dziedzinie zespolonej postaci

gdzie współczynniki spełniają warunek:

[1][2]

gwarantujący, że funkcja nie redukuje się do funkcji stałej.

Funkcję homograficzną można określić dla dowolnego ciała jako funkcję gdzie W szczególności funkcja homograficzna może być określona dla podciał ciała liczb zespolonych (np. liczb rzeczywistych lub liczb wymiernych).

Niektóre źródła nie zaliczają do homografii funkcji liniowych poprzez dodanie warunku

[3][4].

Większość źródeł traktuje jednak funkcje liniowe jako szczególny przypadek homografii, co pozwala na bardziej spójny opis zbioru homografii.

Spis treści

Podstawowe własnościEdytuj

Dziedzina i zbiór wartościEdytuj

Funkcja homograficzna   określona na ciele   gdzie  

  • jest określona dla   czyli poza miejscem zerowym mianownika,
  • nie przyjmuje wartości   bo wtedy byłaby spełniona równość
 
która jest sprzeczna z tym, że  

Funkcja homograficzna   określona na ciele   gdzie  

  • jest określona dla dowolnego  
  • przyjmuje wartości dowolne wartości.

Różnowartościowość homografiiEdytuj

Homografia jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.

Istotnie, jeśli   czyli

 

to

 

Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy

 

a ponieważ   więc

 

Przedłużenie homografiiEdytuj

Jeśli powiększymy ciało   o pewien element   nazywany punktem w nieskończoności, to na zbiorze   można przedłużyć funkcję homograficzną   następująco:

  • dla  
  • dla  

Ponieważ jednocześnie

  • dla  
  • dla  

to homografia   jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Dla ciała liczb rzeczywistych R i ciała liczb zespolonych C punkt   uzwarca te zbiory; pierwszy po uzwarceniu jest homeomorficzny z okręgiem, drugi ze sferą. Wartości   są wówczas odpowiednimi granicami funkcji.

Grupowe własności funkcji homograficznychEdytuj

Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym ciele (włączając przypadek  ) tworzy grupę ze względu na składanie.

Rzeczywiście, jeśli

 

gdzie  

to

 

gdzie  

Czyli   też jest homografią.

Homografia   jest jednością (elementem neutralnym) tej grupy.

Dla homografii   elementem odwrotnym jest homografia  

Oznaczmy przez   macierz złożoną ze współczynników homografii  

Zauważmy, że warunek dla współczynników   oznacza, iż   jest macierzą nieosobliwą.

Zauważmy też, że współczynniki złożenia   są elementami iloczynu macierzy  

Można to symbolicznie zapisać

 

Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można zanurzyć w grupie nieosobliwych macierzy   nad tym samym ciałem.

Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie izomorfizmu – jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy „proporcjonalnych” do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste – dla ciała R wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub −1, natomiast dla ciała C wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.

Rozkład homografiiEdytuj

Dla homografii, dla której   dostajemy

 

Jest więc ona złożeniem kolejno poniższych funkcji:

translacji:  

inwersji:  

jednokładność:  

translacja:  

Jeśli zaś   to natychmiast widać, że homografia jako przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji:

jednokładności:  

i translacji:  

W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz   może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci

 

Weźmy dwie dowolne homografie:

 

gdzie  

Wówczas oznaczając   dostaniemy:

 

czyli

 

gdzie h2, h1 są liniowymi funkcjami:

 
 

Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.

Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostejEdytuj

Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2-wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:

 
 

gdzie   oraz   są współrzędnymi odpowiednich wektorów w ustalonej bazie.

Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w układzie współrzędnych jednorodnych.

Ponieważ

 

więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych)   dostaniemy:

 

Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym układzie współrzędnych rzutowych. Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy   to wyróżnimy grupę przekształceń afinicznych prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.

Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistejEdytuj

Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki   były liczbami rzeczywistymi.

WykresEdytuj

 
Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu.

Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli; posiada on dwie asymptoty:

pionową    i   poziomą  

Punkt   to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów   oraz   Jest ona

  • przedziałami malejąca gdy   oraz
  • przedziałami rosnąca  

Przesunięcie wykresu hiperboliEdytuj

Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej   gdzie   oraz   powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich   mamy

 

Zatem wykres funkcji   powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu

 

o wektor  

Homografia jako funkcja zmiennej zespolonejEdytuj

Homografia określona w ciele liczb zespolonych C jest funkcją holomorficzną.

Użycie ciała C do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu:  ) dostarcza nowych faktów geometrycznych – homografia okazuje się być wówczas odwzorowaniem konforemnym, czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).

Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną – jest funkcją   zachowującą okręgi, tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona   Geometrycznie zdefiniowaną inwersję otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze sprzężeniem, czyli stosując funkcję  

Homografia określona w ciele C nazywana jest także odwzorowaniem Möbiusa.

Przykłady i zastosowaniaEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Uniwersalna Encyklopedia PWN, Wydawnictwo Naukowe PWN SA, wydanie elektroniczne 2008, wersja 1.
  2. Słownik encyklopedyczny – matematyka. Wrocław: Wydawnictwo Europa, 1998, s. 69. ISBN 83-85336-06-0.
  3. Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. I. Warszawa: PWN, 1953, s. 55.
  4. I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Warszawa: PWN, 1976.

Linki zewnętrzneEdytuj

  • Douglas N. Arnold, Jonathan Rogness (University of Minnesota): Moebius Transformations Revealed (ang.). [dostęp 1 maja 2009]. – animacja pokazująca przekształcenie Möbiusa generowane przez funkcję homograficzną w dziedzinie zespolonej