Inwersja (geometria)

Inwersja – rodzaj przekształcenia geometrycznego; można je sobie wyobrażać jako „wywinięcie” wnętrza ustalonego koła na zewnątrz i „zawinięcie” zewnętrza tego koła do jego wnętrza. Do kluczowych własności inwersji należą: zachowywanie kątów (nieskierowanych) oraz fakt, iż obrazami uogólnionych okręgów (tzn. okręgów lub prostych interpretowanych jako okręgi o nieskończonym promieniu) są uogólnione okręgi. Pojęcie to uogólnia się na przestrzenie wyższego wymiaru, zob. Uogólnienia.

Choć inwersje można zdefiniować dla płaszczyzny euklidesowej (lub ogólniej: afinicznej), to naturalnym miejscem badania tych przekształceń jest płaszczyzna inwersyjna rozszerzająca płaszczyznę o nienależący do niej punkt $\infty$ nazywany punktem w nieskończoności (nieskończenie dalekim, niewłaściwym, idealnym). Dodanie punktu $\infty$ do liczb zespolonych (zob. uzwarcenie) daje zespoloną prostą rzutową nazywaną często sferą Riemanna.

Definicja

Punkt $\mathrm {P}$ jest przekształcany w inwersji względem okręgu o środku $\mathrm {O}$ na punkt $\mathrm {P} '.$

Inwersją względem okręgu $c(\mathrm {o} ,r)$ nazywa się przekształcenie $\mathrm {x} \mapsto \mathrm {x} '$ płaszczyzny euklidesowej spełniające warunki:

$\mathrm {x} '\in \mathrm {ox} ^{\rightarrow }$

oraz

$|\mathrm {ox} ||\mathrm {ox'} |=r^{2}\quad {\text{ dla }}\mathrm {x} \neq \mathrm {o} .$

Na płaszczyźnie inwersyjnej dodaje się jeszcze dwa warunki, dzięki którym przekształcenie inwersyjne jest określone dla wszystkich jej punktów:

$\mathrm {o} \mapsto \infty \quad {\text{ oraz }}\quad \infty \mapsto \mathrm {o} .$

Własności

Inwersja względem okręgu o środku $\mathrm {O}$ przekształca okrąg przechodzący przez punkt $\mathrm {O}$ na prostą nieprzechodzącą przez ten punkt (i odwrotnie).

Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek $\mathrm {O}$ okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt.

Punktami stałymi inwersji są punkty okręgu inwersyjnego. Ponadto przekształca ona uogólnione okręgi (okręgi i proste) na uogólnione okręgi, dokładniej:

• Przekształca proste nieprzechodzące przez środek okręgu inwersyjnego na okręgi przechodzące przez środek okręgu inwersyjnego (i na odwrót); odwzorowuje w siebie proste przechodzące przez środek okręgu inwersyjnego.
• Odwzorowuje okręgi nieprzechodzące przez środek okręgu inwersyjnego na okręgi nieprzechodzące przez środek okręgu inwersyjnego; uogólniony okrąg przechodzi w siebie wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadły do okręgu inwersyjnego w ich punktach przecięcia.

Wymienione przekształcenia można odwrócić, gdyż inwersja jest inwolucją. Dodatkowo inwersje są odwzorowaniami wiernokątnymi, tzn. zachowują kąty między krzywymi (w szczególności: prostymi i okręgami), lecz zmieniają znak miary kątów skierowanych (są antykonforemne).

Złożenie dwóch inwersji względem współśrodkowych okręgów o promieniach $r_{1},r_{2}$ jest złożeniem dwóch jednokładności o skali $(r_{2}/r_{1})^{2}.$

Odwrotność zespolona

Ponieważ punktowi płaszczyzny można przypisać liczbę zespoloną $z,$ to można zdefiniować inwersję względem okręgu jednostkowego za pomocą odwrotności ${\bar {z}}^{-1}={\frac {z}{|z|^{2}}},$ gdzie ${\bar {z}}$ oznacza sprzężenie liczby $z.$

Odwrotność zespolona jest obok przesunięć równoległych i obrotów generatorem grupy Möbiusa. To właśnie odwrotność nadaje osobliwy ton geometrii Möbiusa utożsamianej czasem z geometrią inwersyjną (płaszczyzny euklidesowej). Geometria inwersyjna jest bogatsza niż geometria Möbiusa, gdyż operuje się w nim odwzorowaniem inwersyjnym nieprzekształconym poprzez sprzężenie w odwrotność. W ten sposób zawiera ona także sprzężenie, z kolei grupa Möbiusa nie zawiera ani sprzężenia, a co za tym idzie inwersji względem okręgu, gdyż nie są one konforemne (elementami tej grupy są funkcje analityczne płaszczyzny, które są konforemne).

Uogólnienia

Inwersja względem okręgu uogólnia się na inwersję względem sfery w przestrzeni trójwymiarowej mutatis mutandis. Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowym obrazem inwersyjnym sfery jest sfera, ale gdy przechodzi ona przez środek sfery inwersyjnej, to jest ona przekształcana w płaszczyznę; dowolna płaszczyzna nie przechodząca przez środek sfery inwersyjnej jest przekształcana w inwersji na sferę zawierającą środek sfery inwersyjnej.

Rzut stereograficzny to przypadek szczególny inwersji sfery. Niech dana będzie sfera $B$ o promieniu jednostkowym i płaszczyzna $P$ styczna z $B$ w biegunie południowym $S$ sfery $B.$ Wówczas $P$ jest rzutem stereograficznym $B$ względem bieguna północnego $N$ sfery $B.$ Inwersja względem sfery $B_{2}$ o promieniu 2 i środku $N$ przekształca $B$ na jej rzut stereograficzny $P.$

Geometria inwersyjna służy badaniu przekształceń generowanych przez przekształcenia euklidesowe wraz z inwersją względem $n$-sfery,

$x_{i}\mapsto {\frac {r^{2}x_{i}}{\sum _{j}x_{j}^{2}}},$

gdzie $r$ oznacza promień inwersji. Na płaszczyźnie, dla $r=1,$ powyższy wzór opisuje inwersję względem okręgu jednostkowego.

Odwzorowania konforemne przestrzeni wyższych wymiarów można opisać jako złożenia inwersji względem hipersfer lub hiperpłaczyzn oraz ruchów euklidesowych, o czym mówi twierdzenie Liouville'a o odwzorowaniach konforemnych.

Linki zewnętrzne

• Inwersje kwadratu, koła oraz pęku prostych i okręgów względem okręgu na YouTube
• Inwersja trójwymiarowego modelu konia względem sfery na YouTube