Otwórz menu główne

Geometria inwersyjna – dział geometrii badający przekształcenia płaszczyzny euklidesowej (lub ogólniej: afinicznej) nazywane inwersjami względem okręgów; w szczególności za inwersje uważa się symetrie względem prostych traktowanych w tej geometrii jako szczególny rodzaj okręgów.

Płaszczyznę afiniczną rozszerzoną o nienależący do niej punkt tzw. punkt niewłaściwy (w nieskończoności, nieskończenie daleki, idealny), który leży na dowolnej prostej, nazywa się płaszczyzną inwersyjną lub płaszczyzną Möbiusa. Choć jest ona dzięki temu podobna do płaszczyzny rzutowej (w której do płaszczyzny afinicznej dodaje się całą prostą niewłaściwą), to jej cel jest inny – ujednolicenie sposobu traktowania prostych i okręgów na płaszczyźnie afinicznej (np. rzeczywistej lub zespolonej).

DefinicjaEdytuj

Płaszczyznę Möbiusa   można zdefiniować jako parę zbiorów   z relacją incydencji między nimi spełniającą cztery poniższe aksjomaty. Elementy zbiorów   i   nazywa się odpowiednio punktami oraz okręgami. Jeśli punkt   i okrąg   są incydentne, to mówi się, że „  leży na  ” lub „  przechodzi przez  ”. Przecięciem dwóch okręgów nazywa się zbiór punktów leżących na obu z nich. Wspomniane aksjomaty to:

  • istnieją cztery punkty nieincydentne z żadnym okręgiem,
  • dowolna trójka punktów leży na jednym i tylko jednym okręgu,
  • każdy okrąg przechodzi przez co najmniej trzy punkty,
  • dla dowolnego okręgu   leżącego na nim punktu   i nieleżącego na nim punktu   istnieje jednoznacznie wyznaczony okrąg przechodzący przez te punkty, mający dokładnie jeden punkt przecięcia z  

KonstrukcjeEdytuj

Niech   będzie dowolnym punktem abstrakcyjnej płaszczyzny Möbiusa   nazywanym dalej „punktem niewłaściwym”. Niech   gdzie   jest zbiorem wszystkich okręgów przechodzących przez   Wówczas   jest płaszczyzną afiniczną, w której prosta jest zbiorem punktów właściwych (tzn. nie niewłaściwych) na okręgu przechodzącym przez  

W przypadku rzeczywistej lub zespolonej płaszczyzny afinicznej   okrąg   gdzie   jest zbiorem rozwiązań   równania kwadratowego   Okrąg można określić za pomocą trzech punktów, zaś prosta wyznaczona jest przez dwa. Dodawszy punkt   do płaszczyzny afinicznej   który leży na każdej prostej, rozszerzone o niego proste można nazywać „okręgami” (obok okręgów afinicznych). Dlatego geometrię takiej płaszczyzny nazywa się płaszczyzną Möbiusa.

Odwrotnie, usuwając z rzeczywistej bądź zespolonej płaszczyzny Möbiusa   dowolny punkt   otrzymuje się (rzeczywistą bądź zespoloną) płaszczyznę afiniczną z jego strukturą okręgów. Proste afiniczne to okręgi   przechodzące przez   (z usuniętym tym punktem), a okręgi afiniczne to pozostałe okręgi   Wszystkie takie płaszczyzny są izomorficzne jako struktury incydencji.

Rzeczywista płaszczyzna Möbiusa to jeszcze jeden sposób patrzenia na sferę Riemanna. Niech sfera Riemanna (pomijając jej strukturę zespoloną) leży na podprzestrzeni   tak by była styczna w początku płaszczyzny pewnym jej punktem, „biegunem południowym”. Okręgi przechodzące przez „biegun północny” (antypodyczny względem bieguna południowego) odpowiadają w rzucie stereograficznym prostym, zaś pozostałe okręgi – okręgom na płaszczyźnie. Po rozszerzeniu   o punkt niewłaściwy, biegun północny będzie odpowiadać punktowi niewłaściwemu czyniąc ze sfery model rzeczywistej płaszczyzny Möbiusa.

Nie każda płaszczyzna Möbiusa musi być rzeczywista lub zespolona – okręgi można zdefiniować w płaszczyźnie afinicznej nad dowolnym ciałem, przy czym konstrukcja płaszczyzny Möbiusa ma analogiczną postać.

AutomorfizmyEdytuj

Zobacz też: automorfizm.

Niżej okręgi przestrzeni inwersyjnej nazywane będą „okręgami uogólnionymi”, z kolei okręgi afiniczne nazywane będą po prostu „okręgami”. Inwersje nie są jedynymi przekształceniami płaszczyzny inwersyjnej, które zachowują uogólnione okręgi.

Jeśli   jest punktem stałym danego przekształcenia   to punkt   należy do dowolnej prostej   Ponieważ   należy do   to przekształcenie   przekształca proste w proste (jest kolineacją), zatem musi być przekształceniem afinicznym. Z tego powodu   można przedstawić jako złożenie podobieństwa i powinowactwa osiowego. Ponieważ nieizometryczne powinowactwo osiowe nie zachowuje okręgów (przekształca je na elipsy), to przekształcenie   zachowujące okręgi uogólnione (proste i okręgi afiniczne) musi być podobieństwem.

Jeżeli   nie jest punktem stałym w przekształceniu   to istnieje punkt   dla którego   Niech   oznacza inwersję względem okręgu jednostkowego o środku   wtedy   co na mocy powyższego rozumowania oznacza, że   jest podobieństwem. Podobieństwo to można przedstawić jako złożenie izometrii oraz jednokładności o środku   i skali   którą można z kolei zapisać jako złożenie dwóch inwersji względem okręgów o wspólnym środku   o promieniach   oraz   Niech   oznacza inwersję względem okręgu o promieniu   zaś   będzie pewną izometrią. Wówczas   czyli  

Oznacza to, że przekształcenia zachowujące okręgi uogólnione są podobieństwami lub złożeniami izometrii z inwersją. Jeśli takie przekształcenie jest nieizometrycznym podobieństwem (tzn. mającym jeden punkt stały), to można je opisać jako złożenie jednokładności i symetrii osiowej bądź obrotu; jednokładność można rozłożyć na złożenie dwóch inwersji, zaś obrót można zapisać jako złożenie dwóch symetrii osiowych. Jeżeli wspomniane przekształcenie jest złożeniem izometrii i inwersji, to każdą izometrię można przedstawić jako złożenie co najwyżej trzech symetrii osiowych. Stąd każde przekształcenie zachowujące okręgi uogólnione jest złożeniem co najwyżej czterech symetrii uogólnionych (tzn. symetrii osiowych lub inwersji).

Linki zewnętrzneEdytuj