Obrót

typ przekształcenia przestrzeni metrycznej

Obrótizometria parzysta płaszczyzny lub przestrzeni, mająca przynajmniej jeden punkt stały[1].

Obrót względem środka układu współrzędnych.

Obrót na płaszczyźnie

edytuj

Obrót dokoła punktu   o kąt skierowany   jest to odwzorowanie geometryczne   płaszczyzny na siebie, takie że:

  1. jeśli   to  
  2. jeśli   to   gdzie   oraz kąty skierowane   są przystające.

Punkt   nazywa się środkiem obrotu, a kąt   kątem obrotu  

Jeżeli   jest kątem zerowym lub kątem pełnym, to niezależnie od punktu   obrót   jest odwzorowaniem tożsamościowym, które nazywane jest obrotem zerowym.

Obrót płaszczyzny o kąt skierowany półpełny jest symetrią środkową.

Każdy obrót płaszczyzny można przedstawić jako złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach przechodzących przez środek obrotu i tworzących kąt o mierze równej połowie miary kąta obrotu.

Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne: złożenie dwóch symetrii osiowych   o osiach   i   przecinających się w punkcie   jest obrotem dookoła punktu   o kąt skierowany dwukrotnie większy od kąta utworzonego przez proste   i  

Obrót niezerowy   jest izometrią parzystą płaszczyzny, mającą dokładnie jeden punkt stały.

Okręgi i koła o środku w punkcie   są figurami stałymi obrotu  

Obrót wokół początku układu współrzędnych na płaszczyźnie o kąt   punktu   można opisać wzorem analitycznym   gdzie[2]:

 

Obrót na płaszczyźnie zespolonej punktu   wokół początku układu współrzędnych o kąt   można wyrazić wzorem  

Obrót w przestrzeni

edytuj

Obrót dokoła prostej w przestrzeni określa się jako obrót dokoła osi   o kąt skierowany   w którym prosta   zwana osią obrotu jest zbiorem punktów stałych przekształcenia, a każdemu punktowi   jest przyporządkowany punkt   taki, że punkty   i   leżą w płaszczyźnie   prostopadłej do prostej   a punkt   jest obrazem punktu   w obrocie o kąt skierowany   dokoła punktu   (punkt   jest punktem przecięcia płaszczyzny   przez prostą  )[3].
Obrót wokół osi   w przestrzeni o kąt   punktu   można opisać wzorem analitycznym   gdzie[4]:

 

Obrót przestrzeni jest złożeniem dwóch symetrii płaszczyznowych względem płaszczyzn przecinających się wzdłuż osi obrotu i tworzących kąt dwuścienny dwukrotnie mniejszy od kąta obrotu, dodatkowo, gdy płaszczyzny są prostopadłe jest także symetrią osiową. Obrót niezerowy dokoła prostej jest izometrią parzystą przestrzeni, mającą dokładnie jedną prostą punktów stałych.

Przykładowo, figurami stałymi obrotu są sfery i kule, których środki leżą na osi obrotu.

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. Encyklopedia Szkolna Matematyka. Wyd. 1. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, s. 166.
  2. obrót, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-13].
  3. Słownik Encyklopedyczny Matematyka. Wyd. 1. Wrocław: Wydawnictwo Europa, 1988, s. 180.
  4. P.S. Modienow, A.S. Parchomienko: Przekształcenia geometryczne. 1967, s. 70.

Linki zewnętrzne

edytuj