Otwórz menu główne
Przykład izometrii: obrót jako złożenie dwóch odbić.

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara), także przekształcenie izometrycznefunkcja, zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. Jest to więc izomorfizm izometryczny. W geometrii figury, między którymi istnieje izometria (są izometryczne), nazywane są przystającymi.

Geometria euklidesowaEdytuj

Przekształcenie   płaszczyzny euklidesowej lub przestrzeni euklidesowej nazywa się izometrią, jeżeli zachowuje odległość dowolnych dwóch jej punktów   tzn.

 

gdzie   oznacza obraz punktu  

Każde dwa przystające odcinki są równej długości, a każde dwa przystające kąty są jednakowej rozwartości (i na odwrót: równość odcinków i miar kątów oznacza, że są one przystające). Podobnie ma się rzecz z okręgami o równych promieniach. Dowolne dwie proste i półproste są przystające. Izometrie zachowują także współliniowość punktów i ich kolejność na prostej. Więcej o przystawaniu trójkątów można znaleźć w artykule dot. przystawania. Przystawanie wielokątów opisuje się dzieląc je na trójkąty. Ważnym niezmiennikiem izometrii jest pole i objętość figury geometrycznej.

Izometria przestrzeni euklidesowej, która jest przekształceniem liniowym jest też przekształceniem ortogonalnym.

ParzystośćEdytuj

Pojęcie parzystości izometrii jest blisko związane z pojęciem orientacji. Na prostej można wyróżnić dwa „kierunki”, mianowicie w „lewo” i w „prawo”. Jest to dość intuicyjne: na płaszczyźnie należy wziąć pod uwagę trójkąt – jego wierzchołki można opisać od „zgodnie z ruchem wskazówek zegara” lub na odwrót. W przestrzeni, co może być zaskakujące, również wyróżnia się tylko dwie orientacje: „prawoskrętną” i „lewoskrętną” (więcej, w każdej przestrzeni euklidesowej wyróżnia się dokładnie dwie orientacje). Ponieważ każda przestrzeń euklidesowa ma bazę kanoniczną, to właśnie orientację zgodną z nią nazywa się dodatnią, a niezgodną – ujemną (przyjęło się określać dodatnimi orientacje: „w prawo”, „przeciwnie do ruchu wskazówek zegara” oraz „prawoskrętną”).

Na płaszczyźnie każda symetria osiowa zmienia orientację. Izometrię płaszczyzny można przedstawić jako złożenie co najwyżej trzech symetrii osiowych. Nieparzysta liczba symetrii w tej postaci powoduje zmianę orientacji – takie izometrie nazywa się nieparzystymi. Jeżeli daną izometrię da się przedstawić jako złożenie parzystej (lub zerowej) liczby symetrii – taka izometria nie zmienia orientacji – to nazywa się ją parzystą.

Podobnie ma się rzecz z izometriami przestrzeni trójwymiarowej – każdą z nich można przedstawić w postaci złożenia co najwyżej czterech symetrii płaszczyznowych, które zmieniają orientację przestrzeni. Te, które można przedstawić jako złożenie nieparzystej liczby symetrii nazywa się nieparzystymi, pozostałe zaś – parzystymi.

Algebraicznie można opisać jak następuje. Wyznacznik izometrii (macierzy przekształcenia izometrycznego) jest równy   bądź   Te, które mają wyznacznik równy   zachowują orientację, a więc są parzyste, te które mają wyznacznik równy   zmieniają orientację, czyli są nieparzyste. Wówczas   jest homomorfizmem grupy izometrii w grupę dwuelementową. Jądrem tego przekształcenia są izometrie parzyste i jako takie tworzą podgrupę normalną w grupie izometrii. Ponieważ identyczność jest parzysta, to izometrie nieparzyste nie stanowią grupy, generują one jednak całą grupę izometrii.

Klasyfikacja izometriiEdytuj

Prosta

Na prostej można wyróżnić następujące rodzaje izometrii:

Płaszczyzna

Na płaszczyźnie można wyróżnić następujące rodzaje izometrii:

Przestrzeń trójwymiarowa

W przestrzeni wyróżnia się następujące rodzaje izometrii:

Przestrzenie metryczneEdytuj

Niech   i   będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie   nazywa się izometrią (bądź odwzorowaniem zachowującym odległość), jeżeli dla dowolnych   spełniony jest warunek

 

Odwzorowanie zachowujące odległość jest koniecznie iniektywne (różnowartościowe) oraz ciągłe. Każda izometria przestrzeni metrycznych jest zanurzeniem homeomorficznym.

Przestrzenie metryczne X i Y nazywa się izometrycznymi, jeżeli istnieje izometria z X na Y. Zbiór izometrii przestrzeni metrycznej w siebie jest grupą względem składania przekształceń nazywana grupą izometrii będącą podgrupą grupy wszystkich bijekcji danej przestrzeni metrycznej w siebie.

Każda przestrzeń metryczna jest izometryczna z gęstym podzbiorem zupełnej przestrzeni metrycznej.

PrzykładyEdytuj

 
jest izometrią.
 
jest izometrią, lecz nie jest surjekcją.

Izometrie linioweEdytuj

Dla danych dwóch przestrzeni unormowanych   oraz   izometrią liniową nazywa się takie przekształcenie liniowe   które zachowuje normę:

 

dla wszystkich   Izometrie liniowe są przekształceniami zachowującymi odległości w powyższym sensie. Są one izometriami globalnymi wtedy i tylko wtedy, gdy są suriekcjami.

Z twierdzenia Mazura-Ulama wynika, że dowolna izometria między przestrzeniami unormowanymi nad   jest przekształceniem afinicznym.

UogólnieniaEdytuj

  • Dla ustalonej dodatniej liczby rzeczywistej   odwzorowanie   przestrzeni metrycznych nazywa się  -izometrią (lub aproksymacją Hausdorffa), jeżeli
    1. dla   zachodzi   oraz
    2. dla każdego   istnieje punkt   że  
Innymi słowy  -izometria zachowuje odległości wewnątrz   i nie pozostawia żadnego elementu przeciwdziedziny w odległości większej niż   od obrazu elementu dziedziny. Uwaga: od  -izometrii nie wymaga się, by były ciągłe.

Twierdzenie Beckmana-QuarlesaEdytuj

Twierdzenie Beckmana-Quarlesa mówi, że dowolne przekształcenie przestrzeni euklidesowej wymiaru co najmniej dwa w siebie, które zachowuje własność bycia w odległości jednostkowej musi być izometrią.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Marek Kordos, Lesław Włodzimierz Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: PWN, 1976.