Orientacja (matematyka)

Układ lewoskrętny (po lewej) i prawoskrętny

Orientacja – pojęcie matematyczne odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”.

Orientacja rzeczywistej przestrzeni liniowej to podział baz uporządkowanych na „dodatnio” zorientowane i „ujemnie” zorientowane. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dwie możliwe orientacje baz nazywa się prawoskrętną i lewoskrętną (zob. reguła prawej dłoni). Jednakże wybór orientacji jest niezależny od skrętności bazy (chociaż o bazach prawoskrętnych mówi się zwykle, że są zorientowane dodatnio, można jednak przypisać im orientację ujemną).

Przestrzeń liniowaEdytuj

Niech   będzie  -wymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową, zaś układy wektorów   oraz   jej bazami algebraicznymi. Macierz przejścia   od bazy   do   jest nieosobliwa. Oczywiście macierzą przejścia   od bazy   do   jest macierz do niej odwrotna. Obie te macierze posiadają wyznacznik tego samego znaku.

Bazy   przestrzeni  zgodnie zorientowane, jeżeli wyznacznik macierzy przejścia   jest dodatni, w przeciwnym wypadku mówi się, że bazy te są przeciwnie zorientowane. Relacja zgodnej zorientowania między bazami przestrzeni   jest relacją równoważności, zatem rozbija ona rodzinę wszystkich baz tej przestrzeni na klasy abstrakcji nazywane orientacjami tej przestrzeni. Jeżeli   jest ustaloną bazą   to każda baza jest zorientowana zgodnie z nią lub z bazą   Jeżeli   jest orientacją   to jej drugą orientację nazywamy przeciwną względem   i oznaczamy  

Parę   czyli przestrzeń liniową   wraz z ustaloną jej orientacją   nazywa się przestrzenią zorientowaną. Orientację przestrzeni   wyznaczoną przez jej bazę kanoniczną określa się jako orientację dodatnią, zaś przeciwną względem niej – orientacją ujemną.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • A. Birkolc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.