Przestrzeń zupełna

Przestrzeń metryczna zupełna – przestrzeń metryczna o takiej własności, że każdy ciąg Cauchy’ego utworzony z punktów tej przestrzeni ma granicę w punkcie należącym do tej przestrzeni.

Przestrzeń nazywa się niezupełną, jeśli istnieje choć jeden ciąg utworzony z punktów tej przestrzeni, którego granica nie należy do tej przestrzeni. Np. przestrzeń liczb wymiernych z metryką euklidesową$(\mathbb {Q} ,d_{e})$ nie jest zupełna, gdyż np. można utworzyć ciąg liczb wymiernych, który jest zbieżny do liczby ${\sqrt {2}}$, która jest niewymierna (patrz przykłady poniżej). Przestrzeń niezupełną można uzupełnić o „brakujące” punkty tak, aby stała się zupełna. Np. zbiór liczb wymiernych uzupełniony o „brakujące” punkty staje się zbiorem liczb rzeczywistych.

Pojęcie zupełności wymaga istnienia metryki, pozwalającej określać granice ciągów – dlatego można je definiować tylko dla przestrzeni metrycznych. W szerszej klasie przestrzeni topologicznych, w ogólności niemetryzowalnych, wprowadza się analogiczne pojęcie zwartości przestrzeni.

Przykłady

Przestrzenie zupełne

1. Przestrzenie euklidesowe $(\mathbb {R} ^{n},d_{e})$ n-wymiarowe z metryką euklidesową są przestrzeniami zupełnymi.
2. Dowolny zbiór z topologią dyskretną jest przestrzenią metryzowalną w sposób zupełny przez metrykę dyskretną.
3. Z definicji przestrzenie Banacha są przestrzeniami unormowanymi, które są zupełne.
4. Szerszą klasą zupełnych przestrzeni liniowo-metrycznych są F-przestrzenie.

Przestrzenie niezupełne

1. Dowolny przedział otwarty jedno- lub dwustronnie z metryką euklidesową nie jest zupełny. Np. przedział $(0,2]$ nie jest zupełny, gdyż np. ciąg $a_{n}={\frac {1}{n}}$ jest ciągiem Cauchy’ego w nim zawartym, ale jego granica = 0 nie należy do tego przedziału.
2. Zbiór liczb wymiernych $\mathbb {Q}$ nie jest zupełny, gdyż np.
   • ciąg $x_{1}=1$ oraz $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}},n=1,2,3,\dots$ jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczba niewymierna = ${\sqrt {2}},$
   • ciąg $x_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}},$ $n=0,1,2,3,\dots$ jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczba niewymierna = $e$ (liczba Nepera).

Zupełność jako niezmiennik

Tw. 1 Zupełność jest niezmiennikiem metrycznym, tzn. jest zachowywana przy izometriach.

Tw. 2 Zupełność nie jest niezmiennikiem topologicznym.

Np. zbiór liczb rzeczywistych $(-\infty ,+\infty )$ oraz dowolny przedział obustronnie otwarty $(a,b)$ są przestrzeniami wzajemnie homeomorficznymi (więc są to przestrzenie topologicznie nieodróżnialne); z drugiej strony zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią zupełną, zaś przedział otwarty $(a,b)$ nie jest.

Dalsze własności

Tw. 3 (Cantora) Przestrzeń jest zupełna $\iff$ każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych o średnicach dążących do zera ma niepuste przecięcie.

Tw. 4 W przestrzeni metrycznej zupełnej przeliczalna suma domkniętych zbiorów brzegowych jest zbiorem brzegowym.

Tw. 5 Przestrzeń metryczna jest zupełna i całkowicie ograniczona $\iff$ przestrzeń metryczna jest zwarta.

Tw. 6 Każda przestrzeń metryczna zupełna jest zupełna w sensie Čecha.

Twierdzenie Hausdorffa

Tw. Hausdorffa (o uzupełnieniu przestrzeni metrycznej)

1. Dla każdej przestrzeni metrycznej $(X,d)$ istnieje przestrzeń metryczna zupełna ${\big (}{\tilde {X}},{\tilde {d}}{\big )}$ oraz zanurzenie izometryczne $f\colon X\to {\tilde {X}},$ dla którego $f(X)$ jest gęstą podprzestrzenią ${\tilde {X}}.$ Przestrzeń ${\big (}{\tilde {X}},{\tilde {d}}{\big )}$ nazywa się uzupełnieniem przestrzeni $(X,d).$
2. Ponadto jeśli $(Y,\rho )$ jest przestrzenią zupełną oraz istnieje izometryczne zanurzenie $g\colon X\to Y,$ dla którego $g(X)$ jest gęstą podprzestrzenią $Y,$ to $Y$ i ${\tilde {X}}$ są izometryczne.

Innymi słowy:

• Każda przestrzeń metryczna ma jedyne uzupełnienie – z dokładnością do izometrii.

Zobacz też

• przestrzeń ośrodkowa
• przestrzeń spójna
• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń topologicznie zupełna
• przestrzeń zwarta

Bibliografia

• W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.