Podstawa logarytmu naturalnego

stała matematyczna

Podstawa logarytmu naturalnego, liczba e, liczba Eulera, liczba Neperastała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459[1], oznacza się ją literą e.

DefinicjaEdytuj

Liczba e może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

Granica ciąguEdytuj

Jako granica ciągu, e jest określana przez

 
Dowód zbieżności

Wykażemy, że ciąg   gdzie   jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.

Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb   zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:

 
(1)

Rozważając   oraz   otrzymujemy

 

a stąd

  więc również   i  

Czyli ciąg   jest niemalejący.

Podłóżmy   i zauważmy, że  

Z nierówności (1) zastosowanej do   oraz   otrzymujemy, że:

 

Stąd   a więc też  

Czyli ciąg   jest niemalejący. Ponieważ   to możemy wywnioskować że ciąg   jest nierosnący, a stąd

 

Ciąg   jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez  ), a więc jest zbieżny.

Suma szereguEdytuj

Jako suma szeregu, e jest określana przez

 

gdzie   jest silnią liczby  

Za pomocą całkiEdytuj

 
Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1

Liczbę e można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:

 

(to znaczy, że liczba e to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą   od 1 do e jest równe 1).

Za pomocą funkcjiEdytuj

 
Wykres funkcji  

Liczbę e można również zdefiniować jako taki argument funkcji

 

dla którego jej wartość jest największa.

WłasnościEdytuj

Wzory na obliczenie eEdytuj

Granice ciągówEdytuj

 
 

(oba to tzw. wzory Stirlinga)

 

gdzie   to podsilnia, definiowana kombinatorycznie jako liczba nieporządków zbioru n–elementowego, algebraicznie zaś jako  

 

Szeregi nieskończoneEdytuj

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Iloczyny nieskończoneEdytuj

 
 

W 1980 roku, Nick Pippenger udowodnił wzór[3][4]

 

gdzie n!!, to silnia podwójna.

Kultura eEdytuj

W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby e tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym e:

„We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!”

Gdzie znak „!” oznacza cyfrę 0.

Inne interpretacje liczby eEdytuj

Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć   czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy   co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy   czyli e złotych.

Dowód niewymierności eEdytuj

Używamy n-tego przybliżenia   które zapisujemy  

 

Szacujemy błąd

 

Z tego wynika, że   gdzie  

Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:

Załóżmy, że   jest liczbą wymierną. Czyli da się ją przedstawić w postaci   gdzie  

W tym wzorze bierzemy tak duże   żeby było większe od  

Wówczas:

 

Mnożąc stronami przez   dostajemy:  

    więc    

    więc    

Zostały same liczby całkowite poza   która całkowita nie jest.

To dowodzi sprzeczności, a więc i nieprawdziwości twierdzenia, że „e jest wymierne”.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Ciąg A001113 w On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  2. Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. C. R. Acad. Sci. Paris 77, 1873, s. 18–24, 74–79, 226–233.
  3. Eric Weisstein: „Pippenger Product.” From MathWorld--A Wolfram Web Resource.. [dostęp 2013-02-27].
  4. Nick Pippinger. An Infinite Product for e. „Amer. Math. Monthly”. 87 (V), s. 391, maj 1980 (ang.). 

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj