Styczna

linia prosta zdefiniowana dla niektórych punktów krzywej

Prosta styczna do krzywej w punkcie to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych przechodzących przez punkty i gdy punkt dąży (zbliża się) do punktu po krzywej [1].

Konstrukcja stycznej do krzywej

Definicje i wzoryEdytuj

Niech punkt   będzie rzutem punktu   na oś   i niech styczna   przecina oś   w punkcie   zaś prosta   będąca normalną do krzywej   przecina oś   w punkcie   Odcinek skierowany   nazywa się podstyczną, zaś odcinek skierowany  podnormalną. Długość   nazywa się długością stycznej, zaś   – długością normalnej.

Jeśli krzywa   określona jest w pewnym przedziale   funkcją   ciągłą, która ma w tym przedziale określoną pierwszą pochodną   to równanie siecznej przechodzącej przez punkt stały   gdzie   oraz punkt zmienny   gdzie   ma postać:

 

zaś równanie stycznej do tej krzywej w punkcie   ma postać:

 

Wówczas odcięte punktów   i   są odpowiednio równe: : 

Długość stycznej określa wówczas wzór:

 

zaś długość normalnej:

 

Mamy również

  • podstyczna:  
  • podnormalna:  

W podobny sposób definiuje się styczną do powierzchni w danym punkcie. Wystarczy wyznaczyć w powyższy sposób styczną do krzywej powstałej z przecięcia danej powierzchni z płaszczyzną zawierającą dany punkt.

Styczna do okręguEdytuj

W przypadku, gdy krzywa jest okręgiem, definicja stycznej upraszcza się do postaci: styczna do okręgu jest prostą mająca jeden (i tylko jeden) punkt wspólny z okręgiem. Konstruuje się ją jako prostą prostopadłą do promienia o końcu w punkcie styczności.

Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręguEdytuj

 
Odcinki AB i AC są równe

(również znane jako najmocniejsze twierdzenie geometrii[2][3][4])

Niech punkty   i   będą punktami styczności do okręgu   dwóch prostych przecinających się w punkcie   Wówczas  

Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą jest prostopadły do tej prostej.

Kąt pomiędzy styczną a sieczną przechodzącą przez punkty styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku leżącym wewnątrz tego kąta.

Dowód (dla kąta ostrego): Wszystkie kąty wpisane oparte na tym łuku są równe, więc wystarczy rozważyć taki, którego jednym z ramion jest średnica. Wówczas ponieważ kąt wpisany oparty na półkolu jest prosty, a suma kątów w trójkącie równa   kąt między sieczną i średnicą jest mniejszy od   o kąt między styczną i sieczną. Zatem z prostopadłości średnicy wynika teza.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj