Wektor styczny to wektor o kierunku wyznaczonym przez styczną do:
Linia styczna do krzywej w punkcie oznaczonym czerwoną kropką. Wszystkie wektory styczne do krzywej w tym punkcie leżą na tej prostej, tworząc przestrzeń styczną 1-wymiarową. Płaszczyzna styczna do powierzchni sferycznej. Wszystkie wektory styczne do tej powierzchni w danym punkcie leżą na tej płaszczyźnie, tworząc przestrzeń styczną 2-wymiarową. krzywej,
powierzchni,
hiperpowierzchni, poprowadzoną w danym punkcie przestrzeni euklidesowej w ogólności n -wymiarowej. Wektory styczne w sposób analityczny opisuje geometria różniczkowa .
W ogólniejszym kontekście wektory styczne są elementami przestrzeni stycznej , jaką można zdefiniować dla każdego punktu rozmaitości różniczkowej (euklidesowej, pseudoeuklidesowej, riemannowskiej , pseudoriemannowskiej ).
Dla linii krzywej wektory te należą do prostej stycznej do tej krzywej w danym jej punkcie i tworzą przestrzeń styczną 1-wymiarową.
Dla powierzchni 2D wektory te leżą na płaszczyźnie stycznej do tej powierzchni w danym jej punkcie i tworzą przestrzeń styczną 2-wymiarową.
Dla hiperpowierzchni (N -1)-wymiarowej zanurzonej w przestrzeni euklidesowej N -wymiarowej, wektory styczne leżą na tej stycznej hiperpowierzchni euklidesowej (N -1)-wymiarowej i tworzą przestrzeń styczną (N -1)-wymiarową. Wektory styczne do powierzchni 2D
edytuj
(1) Dwuwymiarową powierzchnię
H
{\displaystyle H}
u
,
v
{\displaystyle u,v}
{
x
=
x
(
u
,
v
)
y
=
y
(
u
,
v
)
z
=
z
(
u
,
v
)
,
r
→
(
x
,
y
,
z
)
=
r
→
(
u
,
v
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{matrix}}\end{cases}},\qquad {\vec {r}}(x,y,z)={\vec {r}}(u,v).}
Parametry te określają siatkę współrzędnych krzywoliniowych na powierzchni
H
.
{\displaystyle H.}
(2) Istnieją dwa szczególne wektory styczne
s
→
u
{\displaystyle {\vec {s}}_{u}}
s
→
v
{\displaystyle {\vec {s}}_{v}}
H
{\displaystyle H}
v
=
const
=
v
0
{\displaystyle v={\text{const}}=v_{0}}
u
=
const
=
u
0
,
{\displaystyle u={\text{const}}=u_{0},}
P
{\displaystyle P}
r
→
(
u
0
,
v
0
)
.
{\displaystyle {\vec {r}}(u_{0},v_{0}).}
Współrzędne wektorów
s
→
u
,
s
→
v
{\displaystyle {\vec {s}}_{u},{\vec {s}}_{v}}
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
u
{\displaystyle u}
v
:
{\displaystyle v{:}}
s
→
u
=
[
∂
x
∂
u
,
∂
y
∂
u
,
∂
z
∂
u
]
u
=
u
0
,
v
=
v
0
,
{\displaystyle {\vec {s}}_{u}=\left[{\frac {\partial x}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial z}{\partial u}}\right]_{u=u_{0},v=v_{0}},}
s
→
v
=
[
∂
x
∂
v
,
∂
y
∂
v
,
∂
z
∂
v
]
u
=
u
0
,
v
=
v
0
,
{\displaystyle {\vec {s}}_{v}=\left[{\frac {\partial x}{\partial v}},{\frac {\partial y}{\partial v}},{\frac {\partial z}{\partial v}}\right]_{u=u_{0},v=v_{0}},}
gdzie
u
0
,
v
0
{\displaystyle u_{0},v_{0}}
u
,
v
{\displaystyle u,v}
P
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
,
{\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0}),}
{
x
0
=
x
(
u
0
,
v
0
)
y
0
=
y
(
u
0
,
v
0
)
z
0
=
z
(
u
0
,
v
0
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}x_{0}=x(u_{0},v_{0})\\y_{0}=y(u_{0},v_{0})\\z_{0}=z(u_{0},v_{0})\end{matrix}}\end{cases}}.}
(3) W skrócie wektory te można zapisać następująco:
s
→
u
=
∂
r
→
∂
u
|
u
=
u
0
,
v
=
v
0
,
{\displaystyle {\vec {s}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}{\Big |}_{u=u_{0},v=v_{0}},}
s
→
v
=
∂
r
→
∂
v
|
u
=
u
0
,
v
=
v
0
,
{\displaystyle {\vec {s}}_{v}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}{\Big |}_{u=u_{0},v=v_{0}},}
gdzie
r
→
(
u
,
v
)
=
r
→
[
x
(
u
,
v
)
,
y
(
u
,
v
)
,
z
(
u
,
v
)
]
{\displaystyle {\vec {r}}(u,v)={\vec {r}}[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]}
wektorem wodzącym punktu
P
{\displaystyle P}
H
.
{\displaystyle H.}
(4) Dowolny wektor styczny
s
→
{\displaystyle {\vec {s}}}
H
{\displaystyle H}
P
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})}
s
→
u
{\displaystyle {\vec {s}}_{u}}
s
→
v
,
{\displaystyle {\vec {s}}_{v},}
s
→
=
a
u
s
→
u
+
a
v
s
→
v
,
{\displaystyle {\vec {s}}=a_{u}{\vec {s}}_{u}+a_{v}{\vec {s}}_{v},}
gdzie
a
u
,
a
v
∈
R
.
{\displaystyle a_{u},a_{v}\in R.}
Wektory
s
→
u
{\displaystyle {\vec {s}}_{u}}
s
→
v
{\displaystyle {\vec {s}}_{v}}
płaszczyzny stycznej do powierzchni danej równaniem
R
→
=
r
→
(
u
0
,
v
0
)
+
a
u
s
→
u
+
a
v
s
→
v
.
{\displaystyle {\vec {R}}={\vec {r}}(u_{0},v_{0})+a_{u}{\vec {s}}_{u}+a_{v}{\vec {s}}_{v}.}
edytuj
Dla sfery o promieniu
r
{\displaystyle r}
ϕ
,
θ
{\displaystyle \phi ,\theta }
współrzędnych sferycznych .
(1) Współrzędne kartezjańskie
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
x
=
r
sin
θ
cos
ϕ
,
{\displaystyle x=r\,\sin \theta \,\cos \phi ,}
y
=
r
sin
θ
sin
ϕ
,
{\displaystyle y=r\,\sin \theta \,\sin \phi ,}
z
=
r
cos
θ
.
{\displaystyle z=r\,\cos \theta .}
(2) Wektory styczne mają postać:
s
→
θ
=
∂
r
→
∂
θ
=
[
∂
x
∂
θ
,
∂
y
∂
θ
,
∂
z
∂
θ
]
=
[
r
cos
θ
cos
ϕ
,
r
cos
θ
sin
ϕ
,
−
r
sin
θ
]
,
s
→
ϕ
=
∂
r
→
∂
ϕ
=
[
∂
x
∂
ϕ
,
∂
y
∂
ϕ
,
∂
z
∂
ϕ
]
=
[
−
r
sin
θ
sin
ϕ
,
r
sin
θ
cos
ϕ
,
0
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {s}}_{\theta }&={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}=\left[{\frac {\partial x}{\partial \theta }},{\frac {\partial y}{\partial \theta }},{\frac {\partial z}{\partial \theta }}\right]\\[2px]&=[r\cos \theta \cos \phi ,r\cos \theta \sin \phi ,-r\sin \theta ],\\[1em]{\vec {s}}_{\phi }&={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \phi }}=\left[{\frac {\partial x}{\partial \phi }},{\frac {\partial y}{\partial \phi }},{\frac {\partial z}{\partial \phi }}\right]\\[2px]&=[-r\sin \theta \sin \phi ,r\sin \theta \cos \phi ,0].\end{aligned}}}
(3) Dowolny wektor styczny do sfery w punkcie
P
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle P(\theta ,\phi )}
s
→
θ
{\displaystyle {\vec {s}}_{\theta }}
s
→
ϕ
,
{\displaystyle {\vec {s}}_{\phi },}
s
→
(
θ
,
ϕ
)
=
a
θ
s
→
θ
+
a
ϕ
s
→
ϕ
.
{\displaystyle {\vec {s}}(\theta ,\phi )=a_{\theta }{\vec {s}}_{\theta }+a_{\phi }{\vec {s}}_{\phi }.}
Np. dla
θ
=
π
/
2
,
{\displaystyle \theta =\pi /2,}
ϕ
=
0
{\displaystyle \phi =0}
P
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
=
[
r
,
0
,
0
]
{\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})=[r,0,0]}
x
{\displaystyle x}
s
→
θ
=
[
0
,
0
,
−
r
]
,
{\displaystyle {\vec {s}}_{\theta }=[0,0,-r],}
s
→
ϕ
=
[
0
,
r
,
0
]
{\displaystyle {\vec {s}}_{\phi }=[0,r,0]}
i wektory styczne mają postać
s
→
=
a
θ
s
→
θ
+
a
ϕ
s
→
ϕ
=
a
θ
[
0
,
0
,
−
r
]
+
a
ϕ
[
0
,
r
,
0
]
.
{\displaystyle {\vec {s}}=a_{\theta }{\vec {s}}_{\theta }+a_{\phi }{\vec {s}}_{\phi }=a_{\theta }[0,0,-r]+a_{\phi }[0,r,0].}
(4) Wektory te wyznaczają płaszczyznę styczną do sfery o promieniu
r
{\displaystyle r}
θ
=
π
/
2
,
{\displaystyle \theta =\pi /2,}
ϕ
=
0
{\displaystyle \phi =0}
R
→
=
P
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
+
a
θ
s
→
θ
+
a
ϕ
s
→
ϕ
=
r
[
1
,
a
ϕ
,
−
a
θ
]
.
{\displaystyle {\vec {R}}=P(x_{0},y_{0},z_{0})+a_{\theta }{\vec {s}}_{\theta }+a_{\phi }{\vec {s}}_{\phi }=r[1,a_{\phi },-a_{\theta }].}
Widać, że płaszczyzna ta ma stałą współrzędną
x
{\displaystyle x}
r
{\displaystyle r}
y
z
.
{\displaystyle yz.}
R
3
{\displaystyle R^{3}}
edytuj
Krzywą w przestrzeni
R
3
{\displaystyle R^{3}}
u
{\displaystyle u}
{
x
=
x
(
u
)
y
=
y
(
u
)
z
=
z
(
u
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}x=x(u)\\y=y(u)\\z=z(u)\end{matrix}}\end{cases}}.}
(Analogiczne zależności są słuszne dla krzywej w przestrzeni n -wymiarowej).
Parametr
u
{\displaystyle u}
R
3
.
{\displaystyle R^{3}.}
s
→
u
{\displaystyle {\vec {s}}_{u}}
P
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})}
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
u
:
{\displaystyle u{:}}
s
→
u
=
[
∂
x
∂
u
,
∂
y
∂
u
,
∂
z
∂
u
]
u
=
u
0
,
{\displaystyle {\vec {s}}_{u}=\left[{\frac {\partial x}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial z}{\partial u}}\right]_{u=u_{0}},}
gdzie
u
0
{\displaystyle u_{0}}
u
{\displaystyle u}
P
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
,
{\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0}),}
{
x
0
=
x
(
u
0
)
y
0
=
y
(
u
0
)
z
0
=
z
(
u
0
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}x_{0}=x(u_{0})\\y_{0}=y(u_{0})\\z_{0}=z(u_{0})\end{matrix}}\end{cases}}.}
W skrócie wektor styczny można zapisać następująco:
s
→
u
=
∂
r
→
∂
u
|
u
=
u
0
,
{\displaystyle {\vec {s}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}{\Big |}_{u=u_{0}},}
gdzie
r
→
(
u
)
=
(
x
(
u
)
,
y
(
u
)
,
z
(
u
)
)
{\displaystyle {\vec {r}}(u)=(x(u),y(u),z(u))}
P
{\displaystyle P}
Wektor ten wyznacza prostą styczną do krzywej w punkcie
P
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})}
R
→
=
P
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
+
a
u
s
→
u
,
{\displaystyle {\vec {R}}=P(x_{0},y_{0},z_{0})+a_{u}{\vec {s}}_{u},}
gdzie
a
u
∈
R
.
{\displaystyle a_{u}\in R.}
R
3
{\displaystyle R^{3}}
edytuj
Krzywa w przestrzeni
R
3
{\displaystyle R^{3}}
r
→
(
u
)
=
[
1
+
u
2
,
e
2
u
,
cos
u
]
,
{\displaystyle {\vec {r}}(u)=[1+u^{2},e^{2u},\cos {u}],}
u
∈
R
,
{\displaystyle u\in R,}
Wektor styczny o długości jednostkowej dla
u
=
0
{\displaystyle u=0}
s
→
(
0
)
=
d
r
→
d
u
|
d
r
→
d
u
|
|
u
=
0
=
[
2
u
,
2
e
2
u
,
−
sin
u
]
4
u
2
+
4
e
4
u
+
sin
2
u
|
u
=
0
=
[
0
,
1
,
0
]
.
{\displaystyle {\vec {s}}(0)=\left.{\frac {\frac {d{\vec {r}}}{du}}{|{\frac {d{\vec {r}}}{du}}|}}\right|_{u=0}=\left.{\frac {[2u,2e^{2u},\ -\sin {u}]}{\sqrt {4u^{2}+4e^{4u}+\sin ^{2}{u}}}}\right|_{u=0}=[0,1,0].}
Wektor ten wyznacza kierunek prostej stycznej do krzywej w punkcie
r
→
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
=
[
1
,
1
,
1
]
{\displaystyle {\vec {r}}(x_{0},y_{0},z_{0})=[1,1,1]}
R
→
=
r
→
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
+
a
u
s
→
u
=
[
1
,
1
,
1
]
+
a
u
[
0
,
1
,
0
]
.
{\displaystyle {\vec {R}}={\vec {r}}(x_{0},y_{0},z_{0})+a_{u}{\vec {s}}_{u}=[1,1,1]+a_{u}[0,1,0].}
R
n
{\displaystyle R^{n}}
edytuj
edytuj
(1) Jeżeli w przestrzeni
R
n
{\displaystyle R^{n}}
układ współrzędnych kartezjańskich , to krzywa może być zadana za pomocą równania parametrycznego
r
→
(
u
)
{\displaystyle {\vec {r}}(u)}
r
→
(
u
)
=
[
x
1
(
u
)
,
x
2
(
u
)
,
…
,
x
n
(
u
)
]
,
{\displaystyle {\vec {r}}(u)=[x^{1}(u),x^{2}(u),\dots ,x^{n}(u)],}
a
⩽
u
⩽
b
.
{\displaystyle {}\quad a\leqslant u\leqslant b.}
(2) Współrzędne
T
i
{\displaystyle T^{i}}
u
{\displaystyle u}
T
i
=
d
x
i
d
u
.
{\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{du}}.}
edytuj
W układzie współrzędnych krzywoliniowych
q
i
=
q
i
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle q^{i}=q^{i}(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}),\quad i=1,\dots ,n}
mamy wzory analogiczne jak w układzie kartezjańskim:
(1) krzywa jest zadana równaniami parametrycznymi
q
i
(
x
i
)
=
q
i
(
u
)
,
i
=
1
,
…
,
n
,
{\displaystyle q^{i}(x^{i})=q^{i}(u),\quad i=1,\dots ,n,}
(2) współrzędne wektora stycznego do krzywej
T
′
i
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle T^{\,'i},\quad i=1,\dots ,n}
q
i
{\displaystyle q^{i}}
t
{\displaystyle t}
[1]
T
′
i
=
d
q
i
d
t
,
{\displaystyle T^{\,'i}={\frac {dq^{i}}{dt}},}
przy tym należy pamiętać, iż współrzędne powyższe ma wektor w tzw. bazie naturalnej (por. współrzędne krzywoliniowe ).
Dowód:
Wektor styczny jest wektorem kontrawariantnym (jako iloraz różniczki współrzędnych przez różniczkę parametru, który jest niezmiennikiem transformacji współrzędnych). Wektor kontrawariantny przy przejściu z jednego układu (tu kartezjańskiego) na inny (tu krzywoliniowy) transformuje się wg prawa[2]
T
′
i
=
∂
q
i
∂
x
s
T
s
.
{\displaystyle T^{\,'i}={\frac {\partial q^{i}}{\partial x^{s}}}T^{s}.}
Podstawiając
T
s
=
d
x
s
d
u
,
{\displaystyle T^{s}={\frac {dx^{s}}{du}},}
T
′
i
=
∂
q
i
∂
x
s
d
x
s
d
u
.
{\displaystyle T^{\,'i}={\frac {\partial q^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{du}}.}
Jednocześnie wiadomo, że zachodzi zależność między różniczkami w starym i nowym układzie
d
q
i
d
t
=
∂
q
i
∂
x
s
d
x
s
d
t
.
{\displaystyle {\frac {dq^{i}}{dt}}={\frac {\partial q^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}.}
Porównując dwa ostatnie wzory, widać, że musi zachodzić
T
′
i
=
d
q
i
d
t
,
{\displaystyle T^{\,'i}={\frac {dq^{i}}{dt}},}
David Kay: Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus . New York: McGraw-Hill, 1988. Brak numerów stron w książce 
![{\displaystyle {\vec {s}}_{u}=\left[{\frac {\partial x}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial z}{\partial u}}\right]_{u=u_{0},v=v_{0}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1df22ce695badadef9a0dfc9ae54ed4b387416)
![{\displaystyle {\vec {s}}_{v}=\left[{\frac {\partial x}{\partial v}},{\frac {\partial y}{\partial v}},{\frac {\partial z}{\partial v}}\right]_{u=u_{0},v=v_{0}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815a4f30107b52f161601f1b596896bbeb8a6a63)
![{\displaystyle {\vec {r}}(u,v)={\vec {r}}[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393a8ecf25ffae867d658b46a0e1638007e36321)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {s}}_{\theta }&={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}=\left[{\frac {\partial x}{\partial \theta }},{\frac {\partial y}{\partial \theta }},{\frac {\partial z}{\partial \theta }}\right]\\[2px]&=[r\cos \theta \cos \phi ,r\cos \theta \sin \phi ,-r\sin \theta ],\\[1em]{\vec {s}}_{\phi }&={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \phi }}=\left[{\frac {\partial x}{\partial \phi }},{\frac {\partial y}{\partial \phi }},{\frac {\partial z}{\partial \phi }}\right]\\[2px]&=[-r\sin \theta \sin \phi ,r\sin \theta \cos \phi ,0].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13e66fc024f00bd5a2460521deea1339d14fad6)
![{\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})=[r,0,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46184d366063614f0a2f975bb6271fed6cc89b63)
![{\displaystyle {\vec {s}}_{\theta }=[0,0,-r],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8460430e9e3ca696ca50eb5638bc1975351e5d37)
![{\displaystyle {\vec {s}}_{\phi }=[0,r,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49146d8b63e3668260e81eef00039ce5bd8794c)
![{\displaystyle {\vec {s}}=a_{\theta }{\vec {s}}_{\theta }+a_{\phi }{\vec {s}}_{\phi }=a_{\theta }[0,0,-r]+a_{\phi }[0,r,0].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8061758f1ed70b2475a69ec90ae85afd25d1dca6)
![{\displaystyle {\vec {R}}=P(x_{0},y_{0},z_{0})+a_{\theta }{\vec {s}}_{\theta }+a_{\phi }{\vec {s}}_{\phi }=r[1,a_{\phi },-a_{\theta }].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11dd329ce877149ee0d35dc388e636c75bbcd77d)
![{\displaystyle {\vec {s}}_{u}=\left[{\frac {\partial x}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial z}{\partial u}}\right]_{u=u_{0}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48e448051cb910a2fd901f4513f11466313551e)
![{\displaystyle {\vec {r}}(u)=[1+u^{2},e^{2u},\cos {u}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8bdefb79994c38a05bc0ed34805cac1d27a636)
![{\displaystyle {\vec {s}}(0)=\left.{\frac {\frac {d{\vec {r}}}{du}}{|{\frac {d{\vec {r}}}{du}}|}}\right|_{u=0}=\left.{\frac {[2u,2e^{2u},\ -\sin {u}]}{\sqrt {4u^{2}+4e^{4u}+\sin ^{2}{u}}}}\right|_{u=0}=[0,1,0].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93bf249932f0dc3fa5bcab7b59e8e29e4dd0b62f)
![{\displaystyle {\vec {r}}(x_{0},y_{0},z_{0})=[1,1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce19cc14d847d7538387e7f559d2666a6a3c969)
![{\displaystyle {\vec {R}}={\vec {r}}(x_{0},y_{0},z_{0})+a_{u}{\vec {s}}_{u}=[1,1,1]+a_{u}[0,1,0].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9c0273a8ac068e708a296e4d0f73edf2e64b38)
![{\displaystyle {\vec {r}}(u)=[x^{1}(u),x^{2}(u),\dots ,x^{n}(u)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4efbcaf42415d4873d18b7ded32e8c3f356505)
