Wektor styczny

Wektor styczny to wektor o kierunku wyznaczonym przez styczną do:

Linia styczna do krzywej w punkcie oznaczonym czerwoną kropką. Wszystkie wektory styczne do krzywej w tym punkcie leżą na tej prostej, tworząc przestrzeń styczną 1-wymiarową.
Płaszczyzna styczna do powierzchni sferycznej. Wszystkie wektory styczne do tej powierzchni w danym punkcie leżą na tej płaszczyźnie, tworząc przestrzeń styczną 2-wymiarową.
  • krzywej,
  • powierzchni lub
  • hiperpowierzchni

poprowadzoną w danym punkcie przestrzeni euklidesowej w ogólności n-wymiarowej. Wektory styczne w sposób analityczny opisuje geometria różniczkowa.

W ogólniejszym kontekście wektory styczne są elementami przestrzeni stycznej, jaką można zdefiniować dla każdego punktu rozmaitości różniczkowej (euklidesowej, pseudoeuklidesowej, riemannowskiej, pseudoriemannowskiej).

  • Dla linii krzywej wektory te należą do prostej stycznej do tej krzywej w danym jej punkcie i tworzą przestrzeń styczną 1-wymiarową.
  • Dla powierzchni 2D wektory te leżą na płaszczyźnie stycznej do tej powierzchni w danym jej punkcie i tworzą przestrzeń styczną 2-wymiarową.
  • Dla hiperpowierzchni (N-1)-wymiarowej zanurzonej w przestrzeni euklidesowej N-wymiarowej, wektory styczne leżą na tej stycznej hiperpowierzchni euklidesowej (N-1)-wymiarowej i tworzą przestrzeń styczną (N-1)-wymiarową.

Wektory styczne do powierzchni 2DEdytuj

(1) Dwuwymiarową powierzchnię   można opisać za pomocą dwóch niezależnych od siebie parametrów  

 

Parametry te określają siatkę współrzędnych krzywoliniowych na powierzchni  

(2) Istnieją dwa szczególne wektory styczne   oraz   do powierzchni   – są to wektory styczne odpowiednio do krzywych   oraz   przecinających się punkcie   o wektorze wodzącym  

Współrzędne wektorów   oblicza się jako pochodne funkcji   względem parametrów   oraz  

 
 

gdzie   to wartości parametrów   wyznaczające punkt   czyli:

 

(3) W skrócie wektory te można zapisać następująco:

 
 

gdzie   jest wektorem wodzącym punktu   na powierzchni  

(4) Dowolny wektor styczny   do powierzchni   w jej punkcie   wyraża się w postaci pewnej kombinacji liniowej wektorów stycznych   oraz   tj.

 

Wektory   oraz   stanowią więc bazę płaszczyzny stycznej do powierzchni danej równaniem

 

Przykład: Wektory styczne do sferyEdytuj

Dla sfery o promieniu   można wprowadzić parametryzację za pomocą kątów   współrzędnych sferycznych.

(1) Współrzędne kartezjańskie   są wyrażone przez współrzędne sferyczne wzorami

 
 
 

(2) Wektory styczne mają postać:

 

(3) Dowolny wektor styczny do sfery w punkcie   wyraża się w postaci kombinacji liniowej wektorów stycznych   oraz   tj.

 

Np. dla     mamy punkt   leżący na osi   układu współrzędnych oraz wektory bazowe styczne

 
 

i wektory styczne mają postać

 

(4) Wektory te wyznaczają płaszczyznę styczną do sfery o promieniu   w punkcie     i równaniu

 

Widać, że płaszczyzna ta ma stałą współrzędną  -ową – jest to płaszczyzna pionowa  

Wektor styczny do krzywej w Edytuj

Krzywą w przestrzeni   można opisać za pomocą jednego parametru  

 

(Analogiczne zależności są słuszne dla krzywej w przestrzeni n-wymiarowej).

Parametr   wyznacza linię współrzędnej krzywoliniowej w przestrzeni   Wektor styczny   do krzywej w danym punkcie   otrzymuje się, obliczając pochodne funkcji   względem parametru  

 

gdzie   to wartości parametru   wyznaczające punkt   czyli:

 

W skrócie wektor styczny można zapisać następująco:

 

gdzie   jest wektorem wodzącym punktu   krzywej.

Wektor ten wyznacza prostą styczną do krzywej w punkcie   o równaniu

 

Przykład: Wektor styczny do krzywej w Edytuj

Krzywa w przestrzeni   dana jest równaniem parametrycznym

   

Wektor styczny o długości jednostkowej dla   ma postać  

Wektor ten wyznacza kierunek prostej stycznej do krzywej w punkcie   o równaniu

 

Wektor styczny do krzywej w przestrzeni Edytuj

Współrzędne kartezjańskieEdytuj

(1) Jeżeli w przestrzeni   dany jest układ współrzędnych kartezjańskich, to krzywa może być zadana za pomocą równania parametrycznego  

   

(2) Współrzędne   wektora stycznego do krzywej wyznacza się, licząc pochodne współrzędnych wektora wodzącego krzywej po parametrze  

 

Współrzędne krzywolinioweEdytuj

W układzie współrzędnych krzywoliniowych

 

mamy wzory analogiczne jak w układzie kartezjańskim:

(1) krzywa jest zadana równaniem parametrycznym

 

(2) wektor styczny   oblicza się, licząc pochodną współrzędnych   parametrze[1]

 

przy tym należy pamiętać, iż współrzędne powyższe ma wektor w tzw. bazie naturalnej (por. współrzędne krzywoliniowe).

Dowód:

Wektor styczny jest wektorem kontrawariantnym (jako iloraz różniczki współrzędnych przez różniczkę parametru, który jest niezmiennikiem transformacji współrzędnych). Wektor kontrawariantny przy przejściu z jednego układu (tu kartezjańskiego) na inny (tu krzywoliniowy) transformuje się wg prawa[2]

 

Podstawiając   otrzymamy

 

Jednocześnie wiadomo, że zachodzi zależność między różniczkami w starym i nowym układzie

 

Porównując dwa ostatnie wzory, widać, że musi zachodzić   cnd.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Trajdos (1974).
  2. Landau 2009 ↓, s. 289.

BibliografiaEdytuj

Literatura dodatkowaEdytuj

  • David Kay: Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus. New York: McGraw-Hill, 1988.