Układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich, prostokątny układ współrzędnych[potrzebny przypis] – prostoliniowy układ współrzędnych, którego osie są parami prostopadłe[1].

Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Pewne cechy takiego układu mają szachownica znana od starożytności oraz pochodzące z XVI wieku odwzorowanie Mercatora. W 1636 roku prostokątnego układu współrzędnych używał Pierre de Fermat, jednak nie opublikował tych prac, przez co pozostały nieznane. Kartezjusz (fr. René Descartes) opracował to niezależnie i opublikował w 1637 roku w traktacie La Géométrie[2] – stąd nazwa; francuski przymiotnik to cartesien. Wywołało to spór o pierwszeństwo z Fermatem, jednak zakończył się on pogodzeniem obu uczonych i wzajemnym uznaniem zasług[3].

Definicja

edytuj

Układem współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni n-wymiarowej nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

  • punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, oznaczany literą   (ang. origin – źródło, początek),
  • ciąg n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
    •   (pierwsza oś, zwana osią odciętych),
    •   (druga, zwana osią rzędnych).

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza wymiar przestrzeni.

Wykresy funkcji

edytuj
Osobny artykuł: Wykres funkcji.

Za pomocą układu współrzędnych kartezjańskich można tworzyć wykresy funkcji jednoargumentowych postaci:

 

np.

 

przedstawia funkcję liniową. Podstawiając pod   wartości, otrzymujemy drugą współrzędną  

Współrzędne

edytuj

Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu  

  1. Tworzymy rzut prostokątny punktu   na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez   i prostopadłą do k-tej osi, a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
  2. Współrzędna tego punktu przecięcia na k-tej osi jest k-tą współrzędną punktu  

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

  •   – historyczna nazwa odcięta, łac. abscissa,
  •   – historyczna nazwa rzędna, łac. ordinata,
  •   – historyczna nazwa kota, łac. applicata.

Wzory w 2-wymiarowym układzie współrzędnych

edytuj
  • Współrzędne środka odcinka AB oznaczonego literą C, kiedy    
 
  • odległość punktu A od środka układu współrzędnych dla  
 
  • Długość odcinka AB dla    
  lub  

Ćwiartki i oktanty

edytuj
 
Cztery ćwiartki układu współrzędnych kartezjańskich

Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery przystające, nieograniczone zbiory nazywane ćwiartkami; brzeg każdej z nich składa się z dwóch półosi[a]. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza symbolami rzymskimi: I (+,+), II (–,+), III (–,–) oraz IV (+,–), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Przy zwyczajowym rysowaniu osi, numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem części zwanych oktantami[4], zgodnie z ośmioma sposobami ułożenia dwóch znaków +,– na trzech miejscach. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie, nazywany bywa pierwszym, jednak nie ma ogólnie przyjętej numeracji pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywane bywa ortantem[5].

Skrętność przestrzeni trójwymiarowej[6]

edytuj

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi   do   to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi   (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.

Zobacz też

edytuj
  1. Nie jest to jednak podział na podzbiory rozłączne; takiego podziału na cztery części przystające nie da się dokonać, bowiem początek układu musiałby należeć do jednej tylko części.

Przypisy

edytuj
  1. współrzędne kartezjańskie, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-11-23].
  2. Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, & chercher la verité dans les sciences: plus la dioptrique, les météores, et la géométrie, qui sont des essais de cete méthode. Lejda: Jan Maire, 1637.
  3. Neil Schlager, Josh Lauer (red.), Science and Its Times. Understanding the Social Significance of Scientific Discovery, t. III, 1450–1699, Farmington Hills, MI: Gale Group, 2000, s. 242.
  4. oktant, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-03].
  5. Smoluk 2017 ↓, s. 234.
  6. Używany też bywa termin: orientacja przestrzeni (K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, PWN, Warszawa 1964, s. 58).

Bibliografia

edytuj